[論文レビュー] LO_v-Calculus: A Graphical Language for Linear Optical Quantum Circuits

Alexandre Clément, Nicolas Heurtel+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Logic, programming, and type systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、真空状態補助入力を伴う線形光学量子回路のための健全かつ完全な図式的言語であるLOvカルキュラスを導入する。任意の偏光保存型LOv回路を一意の三角形標準形に変換する、結合性および終了性が保証された書き換え系を提供し、Reckらの分解が、一意性の新証明を伴う標準形として形式的に回復される。

ABSTRACT

We introduce the LO_v-calculus, a graphical language for reasoning about linear optical quantum circuits with so-called vacuum state auxiliary inputs. We present the axiomatics of the language and prove its soundness and completeness: two LO_v-circuits represent the same quantum process if and only if one can be transformed into the other with the rules of the LO_v-calculus. We give a confluent and terminating rewrite system to rewrite any polarisation-preserving LO_v-circuit into a unique triangular normal form, inspired by the universal decomposition of Reck et al. (1994) for linear optical quantum circuits.

研究の動機と目的

• 光子ハードウェアにおける物理的実装に密接に一致する、線形光学量子回路（LOQC）を形式的かつ図式的に扱う言語の開発。
• 量子回路の完全な等式理論の欠如に応じて、標準的なLOQC意味論に関して健全かつ完全な公理的体系の提供。
• 偏光保存型LOvカルキュラスの断片に対して、強く正規化可能で、グローバルに結合性を持つ書き換え系の確立。
• Reckら（1994年）の普遍的分解が、LOvカルキュラスにおいて標準形として形式的に回復され、その一意性が証明されること。
• 異なるLOQCの表現を統一する1つの形式的枠組みとしての構築により、光子回路の検証、最適化、体系的分析を可能にする。

提案手法

• ビームスプリッター、位相シフト素子、偏光ビームスプリッター、真空入力などを含む、光子量子実験で用いられる物理的コンponentsに基づく図式的言語の設計。
• 位相シフトの対称性やビームスプリッターの交換性といった、光学的コンポONENTの物理的同等性を捉える38の規則（例：(1)–(38)）からなる公理的体系の定義。
• ヒルベルト空間におけるユニタリ行列の同等性による、各規則の健全性の直接的検証による証明。
• 任意の2つのLOv回路が同じ量子過程を表す場合、それらが規則により互いに変換可能であることを示すことにより、完全性の確立。
• 公理に基づく書き換え系を構築し、それが終了性および結合性を満たすようにし、偏光保存型回路のすべてが一意の標準形に簡約されることを保証。
• 標準形を用いて、0度のビームスプリッターおよび位相シフト素子といった自明なコンポONENTを除き、Reckらの分解が標準的表現として回復されることの確認。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的量子力学に関して健全かつ完全な、線形光学量子回路のための図式的言語を開発可能か？
• RQ2 すべての偏光保存型LOv回路を一意の三角形形に正規化する、結合性および終了性が保証された書き換え系が存在するか？
• RQ3 Reckら（1994年）の普遍的分解が、図式的カルキュラス内で形式的に導出可能であり、その一意性が証明可能か？
• RQ4 真空状態補助入力を、光子量子回路の形式的言語に体系的に統合する方法は何か？
• RQ5 この形式的枠組みは、物理学の文献に散在する多様なLOQCの取り扱い方を、どの程度統一的かつ一般化可能か？

主な発見

• LOvカルキュラスは健全かつ完全である：2つのLOv回路が同じ量子過程を表すための必要十分条件は、それらがカルキュラスの規則を用いて互いに変換可能であることである。
• 結合性および終了性が保証された書き換え系が構築され、すべての偏光保存型LOv回路が一意の三角形標準形に簡約されることを保証する。
• Reckらの分解は、0度のビームスプリッターおよび位相シフト素子を除き、任意の偏光保存型回路の標準形として形式的に回復される。
• 書き換え系の結合性に基づく、Reckらの分解の一意性を示す新規な証明が提供される。
• 言語は光子回路に関する形式的推論を可能にし、物理的実装と整合する形で検証、最適化、誤り訂正が可能となる。
• カルキュラスにより、複数のLOQC表現の形式的定式化と比較が可能となり、物理学の文献に散在するこれまで別個に扱われていたアプローチが統一される。