[論文レビュー] Local algorithms for Maximum Cut and Minimum Bisection on locally treelike regular graphs of large degree

A. El Alaoui, Andrea Montanari+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2021

Graph theory and applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、大規模な次数の局所的木構造を持つ正則グラフにおいて、近似的に最適な最大カットおよび最小バイセクション分割を計算するローカルなメッセージスイーピングアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは O(nkL) 時間で実行され、カット値として nk/4 + nP⋆√(k/4) + o(n) + no(k)(√k) + n√k oL(1) を達成する。ここで P⋆ ≈ 0.763166 はパリシ定数であり、ランダムな k-正則グラフにおける理論的最適値と一致し、ローカルアルゴリズムの枠組みにおいて近似的に最適性を確立する。

ABSTRACT

Given a graph $G$ of degree $k$ over $n$ vertices, we consider the problem of computing a near maximum cut or a near minimum bisection in polynomial time. For graphs of girth $2L$, we develop a local message passing algorithm whose complexity is $O(nkL)$, and that achieves near optimal cut values among all $L$-local algorithms. Focusing on max-cut, the algorithm constructs a cut of value $nk/4+ n\\mathsf{P}_\\star\\sqrt{k/4}+\\mathsf{err}(n,k,L)$, where $\\mathsf{P}_\\star\\approx 0.763166$ is the value of the Parisi formula from spin glass theory, and $\\mathsf{err}(n,k,L)=o_n(n)+no_k(\\sqrt{k})+n \\sqrt{k} o_L(1)$ (subscripts indicate the asymptotic variables). Our result generalizes to locally treelike graphs, i.e., graphs whose girth becomes $2L$ after removing a small fraction of vertices. Earlier work established that, for random $k$-regular graphs, the typical max-cut value is $nk/4+ n\\mathsf{P}_\\star\\sqrt{k/4}+o_n(n)+no_k(\\sqrt{k})$. Therefore our algorithm is nearly optimal on such graphs. An immediate corollary of this result is that random regular graphs have nearly minimum max-cut, and nearly maximum min-bisection among all regular locally treelike graphs. This can be viewed as a combinatorial version of the near-Ramanujan property of random regular graphs.

研究の動機と目的

• 局所的木構造を持つ大次数の正則グラフに対して、多項式時間のローカルアルゴリズムを設計すること。
• ランダムな k-正則グラフにおけるパリシの公式が予測する理論的最適値と一致するカット値を達成すること。
• ランダムな k-正則グラフに限らない、より広いクラスの局所的木構造を持つグラフ（頂点の小さな部分集合を除いた後に周囲が長い）に一般化すること。
• このアルゴリズムの性能が、すべての L-ローカルアルゴリズムの中でほぼ最適であることを確立し、誤差項が n, k, L に従って減少することを示すこと。
• ランダムな正則グラフが近似的に最小の最大カットおよび近似的に最大の最小バイセクションを達成することを示し、近ラマヌジャン性の組合せ的アナログを提供すること。

提案手法

• 各頂点をルートとする k-分木の深さ L におけるメッセージスイーピングフレームワークを用い、パリシ汎関数から導かれた非線形性を持つ信念伝播を模倣する。
• 各頂点 v に対して、前層のメッセージに基づく再帰的更新により、局所的推定値 zv^L と zv^L を計算する。非線形性 Fℓ および Hℓ は、シャーリングトン＝キルパトリック模型の最適解を近似するために設計されている。
• 連続的なメッセージ出力を ±1 の割り当て σi ∈ {−1, +1} に変換するラウンドアップ手順を適用し、最小バイセクションではほぼバランスの取れた分割、最大カットでは妥当な分割を保証する。
• リンデバーグ交換法を用いた誤差評価と連続時間パリシ PDE との比較により、k → ∞ のときパリシ定数 P⋆ に収束することが示され、収束が確認される。
• ノーオーバーラップギャップ仮定とパリシ汎関数の性質を活用し、アルゴリズムの出力と理論的最適値との差を評価する。
• バイセクションのケースでは、正確なバランスを満たすために εn 個の符号を反転させる調整が施され、誤差は kε のオーダーで制御される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大次数の正則グラフにおいて、ローカルアルゴリズムが近似的に最適な最大カットおよび最小バイセクション値を達成できるか？
• RQ2 このようなアルゴリズムの性能が、シャーリングトン＝キルパトリックスピンガラス模型のパリシ公式が予測する理論的限界と一致するか？
• RQ3 このアルゴリズムの性能は、グラフの周囲と局所的木構造性にどのように依存するか、特に次数 k が大きい極限においては？
• RQ4 ランダムな k-正則グラフが、近似的に最小の最大カットおよび近似的に最大の最小バイセクションを達成するのはどの程度で、これはその局所的木構造性に起因するか？
• RQ5 誤差が n, k, L の関数として定量化可能か？また、L が増加するに従って最適値に収束するか？

主な発見

• アルゴリズムは最大カット値として nk/4 + nP⋆√(k/4) + o(n) + no(k)(√k) + n√k oL(1) を達成し、ランダムな k-正則グラフにおける既知の漸近的最適値と一致する。
• 最小バイセクションにおいても、理論的最適値から O(√k) の誤差で収束し、同じ誤差構造を持つことから、近似的に最適性が確認される。
• パリシ定数 P⋆ ≈ 0.763166 が主要なスケーリング要因として登場し、グラフ分割問題とスピンガラス理論、および SK モデルを結びつける。
• アルゴリズムの誤差は n に対して o(n)、k に対して no(k)(√k)、L に対して n√k oL(1) として減少し、L が増加するに従って最適値に収束することが示される。
• この結果は、ランダムな k-正則グラフが近似的に最小の最大カットおよび近似的に最大の最小バイセクションを達成することを示唆し、近ラマヌジャンスペクトル性の組合せ的アナログを提供する。
• アルゴリズムの計算量は O(nkL) であり、大次数かつ中程度の周囲を持つ大規模グラフに対しても効率的である。