[論文レビュー] Local and global canonical height functions for affine space regular automorphisms

Shu Kawaguchi|ArXiv.org|Sep 19, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、数体上のアフィン空間における正則多項式自己同型写像について、v-進グリーン関数を用いて局所的および大域的正規化高さ関数を構成する。周期的点のノースコット型有限性を確立し、反復写像における高さの明確な漸近的成長見積もりを導出し、このような自己同型写像の算術的力学に関する既知の結果を回復・拡張する。

ABSTRACT

Let f: A^N o A^N be a regular polynomial automorphism defined over a number field K. For each place v of K, we construct the v-adic Green functions G_{f,v} and G_{f^{-1},v} (i.e., the v-adic canonical height functions) for f and f^{-1}. Next we introduce for f the notion of good reduction at v, and using this notion, we show that the sum of v-adic Green functions over all v gives rise to a canonical height function for f that satisfies the Northcott-type finiteness property. Using previous results, we recover results on arithmetic properties of f-periodic points and non f-periodic points. We also obtain an estimate of growth of heights under f and f^{-1}, which is independently obtained by Lee by a different method.

研究の動機と目的

• 数体上でのアフィン空間における正則多項式自己同型写像の局所的v-進正規化高さ理論を構築すること。
• すべての場所vにおける局所的v-進グリーン関数の和として大域的正規化高さ関数を定義すること。
• 大域的高さ関数を用いて、f-周期的点のノースコット型有限性を確立すること。
• fの前向きおよび後向き反復における高さの明確な漸近的成長見積もりを導出すること。
• 数体上での力学系における周期的および非周期的軌道の算術的性質に関する既知の結果を回復・拡張すること。

提案手法

• 前向きおよび後向き反復における正規化された対数高さの極限として、v-進グリーン関数G_{f,v}およびG_{f^{-1},v}を構成する。
• 大域的高さ和の収束性および有限性を保証するため、非アーチメデス的場所における良い還元の概念を導入する。
• ヒルベルトのゼロ点定理およびコンパクト性の議論を用いて、グリーン関数の一様な上限および下限、および成長見積もりを確立する。
• 数体Kのすべての場所vにおけるv-進グリーン関数の和として、大域的正規化高さ関数を定義する。
• この理論を適用して、正規化高さ関数がノースコット型の有限性および軌道点における明確な漸近的成長法則を満たすことを証明する。
• 大域的高さ関数を用いて、f-周期的点は正規化高さがゼロである点として特徴付けられ、軌道の有界性がすべての場所における局所的有界性と同値であることを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的v-進アプローチを用いて、数体上のアフィン空間における正則多項式自己同型写像に対して正規化高さ関数を構成できるか？
• RQ2 v-進グリーン関数の和は、ノースコット有限性を満たす大域的正規化高さ関数をもたらすか？
• RQ3 無限大のf-軌道に属する点の高さの正確な漸近的成長率は何か？
• RQ4 局所的v-進グリーン関数は反復に対してどのように振る舞い、どのような上限を確立できるか？
• RQ5 f-周期的点の集合は、大域的正規化高さが消えることによって特徴付けられるか？

主な発見

• v-進グリーン関数G_{f,v}およびG_{f^{-1},v}は点ごとの極限として存在し、A^Nの特定の部分集合上で一様な上界および下界を満たす。
• 大域的正規化高さ関数は、数体Kのすべての場所vにおけるv-進グリーン関数の和として定義され、f-周期的点に対してノースコット型の有限性を満たす。
• 無限大のf-軌道における高さが有界な点の数の漸近的成長は、T → ∞のとき # {y ∈ O_f(x) | h(y) ≤ T} = (1/log d + 1/log d_-) log T - ĥ(O_f(x)) + O(1) で与えられる。
• 正規化高さは、liminf_{h(x)→∞} [ (1/d)h(f(x)) + (1/d_-)h(f^{-1}(x)) ] / h(x) = 1 + 1/(dd_-) を満たし、鋭い成長率を示す。
• 点xがf-周期的であることと、すべての場所vにおけるv-進位相的トポロジーでその軌道が有界であること、および大域的正規化高さがゼロであることとは同値である。
• 本構成は、マーチェロによる周期的点の有界高さに関する結果およびリーによる成長見積もりを回復・拡張し、次元N ≥ 2のすべての次元で有効である。