[論文レビュー] Local and global existence of solutions to a strongly damped wave equation of the $p$-Laplacian type

Nicholas J. Kass, Mohammad A. Rammaha|arXiv (Cornell University)|May 18, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 内で、非線形境界ダンピングおよび超臨界のソース項を有する一般化されたロビン境界条件を満たす、$p$-ラプラシアン型の強力な減衰を伴う波動方程式に対して、弱解の局所的および大域的存在を確立する。ガレルキン法と単調作用素理論を用いて、ソース項 $f(u)$ の成長条件が指数 $r < \frac{4p}{3(3-p)}$ を満たす場合に存在を証明し、$p$-ラプラシアン作用素に対する弱収束の特定という、非線形偏微分方程式における主な技術的困難を解決する。

ABSTRACT

This article focuses on a quasilinear wave equation of $p$-Laplacian type: $$ u_{tt} - Δ_p u - Δu_t=0$$ in a bounded domain $Ω\subset\mathbb{R}^3$ with a sufficiently smooth boundary $Γ=\partialΩ$ subject to a generalized Robin boundary condition featuring boundary damping and a nonlinear source term. The operator $Δ_p$, $2 &lt; p &lt; 3$, denotes the classical $p$-Laplacian. The nonlinear boundary term $f (u)$ is a source feedback that is allowed to have a supercritical exponent, in the sense that the associated Nemytskii operator is not locally Lipschitz from $W^{1,p}(Ω)$ into $L^2(Γ)$. Under suitable assumptions on the parameters we provide a rigorous proof of existence of a local weak solution which can be extended globally in time provided the source term satisfies an appropriate growth condition.

研究の動機と目的

• 3次元空間 $\mathbb{R}^3$ 内の非線形波動方程式に対して、$p$-ラプラシアン減衰および強力な減衰を伴う局所的弱解の存在を確立すること。
• 非線形ソース項 $f(u)$ に特定の成長条件を課すことにより、局所解を時間的に大域的に拡張すること。
• ガレルキン近似における $\Delta_p u_N$ の弱収束の厳密な特定を、非線形偏微分方程式における主要な技術的困難である。
• 非線形境界ダンピングおよびソースフィードバックを有する一般化されたロビン境界条件の下での方程式の適切性（well-posedness）を分析すること。
• $p$-ラプラシアンと $m$-ラプラシアン減衰項を併せ持つ系（$m \neq p$）に対して、ガレルキン法を拡張できない理由を明らかにし、分野における未解決問題を強調すること。

提案手法

• $W^{1,p}(\Omega) \times L^2(\Omega)$ の有限次元部分空間内に近似解 $u_N$ を構築するためにガレルキン法を用いる。
• 単調作用素理論を用いて、$N \to \infty$ のときの $\Delta_p u_N$ の弱収束を $\Delta_p u$ に特定し、必要な位相で収束することを保証する。
• 境界項を制御するためにトレース定理およびソボレフ埋め込みを適用し、特に $W^{1,p}(\Omega) \to L^q(\Gamma)$ において $q = 4$ および $q = 3r/2$ を扱う。
• 一様な推定を可能にするために、非線形ソース $f(u)$ の切り捨て版 $f_n(u)$ を導入し、局所リプシッツ連続性を保証する。
• 方程式の構造に基づくエネルギー推定を用いて、$u_N$ および $u_{N,t}$ の適切なノルムにおける一様な有界性を確立する。
• コンパクト性およびトレース写像の議論を用いて、$f_n(u_N)$ が $L^{4/3}(\Gamma)$ で $f(u)$ に収束することを証明する。これは、超臨界非線形性を扱う上で極めて重要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界に超臨界非線形ソースを有する強力な減衰を伴う $p$-ラプラシアン波動方程式に対して、局所的弱解が存在する条件は何か？
• RQ2 局所解を時間的に大域的に拡張することは可能か？ また、$f(u)$ にどのような成長制限を課すことで、その拡張が保証されるか？
• RQ3 $p > 2$ の場合に、ガレルキン近似における $\Delta_p u_N$ の弱収束をどのように厳密に特定できるか？
• RQ4 $p$-ラプラシアンと $m$-ラプラシアン減衰項を併せ持つ系（$m \neq p$）において、標準的なガレルキン法がなぜ失敗するのか？ その背後にある解析的障害は何か？
• RQ5 非線形境界ダンピングおよび非線形ソースを有する一般化されたロビン境界条件が、存在理論において果たす役割は何か？

主な発見

• 強力な減衰および非線形ロビン境界条件を有する $p$-ラプラシアン波動方程式の初期境界値問題に対して、局所的弱解が存在する。
• ソース項 $f(u)$ が $|f'(u)| \leq C(|u|^{r-1} + 1)$ を満たし、$r < \frac{4p}{3(3-p)}$ である限り、解は時間的に大域的に拡張可能であり、与えられたソボレフ埋め込みのもとで最適である。
• 単調作用素理論を用いて、$W^{1,p}$-空間におけるコンパクト性の欠如にかかわらず、$\Delta_p u_N \rightharpoonup \Delta_p u$ の弱収束を厳密に特定した。
• 切り捨てられたソース $f_n(u)$ が $W^{1,p}(\Omega)$ 上で局所リプシッツ連続であることが示され、一様推定および $L^{4/3}(\Gamma)$ での収束を可能にした。
• $p$-ラプラシアンと $m$-ラプラシアン減衰項（$m \neq p$）を併せ持つ系に対して、同じ手法を用いて二つの弱収束を同時に特定できないため、この方法は拡張できない。
• 解析により、$W^{1,p}(\Omega)$ から $L^2(\Gamma)$ への局所リプシッツ連続性を破る超臨界ソースでも、指定された成長条件のもとで取り扱えることが確認された。これにより、既存の存在結果の有効範囲が拡張された。