[論文レビュー] Local and Global Inference for High Dimensional Nonparanormal Graphical Models

Quanquan Gu, Yuan Cao+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Statistical Methods and Inference参考文献 47被引用数 21

ひとこと要約

本論文は、疑似尤度アプローチと新規のU統計量マルチプライヤーブートストラップを用いて、高次元非正規グラフィカルモデルにおける局所的およびグローバル推論の統一枠組みを提案する。これは、チューニングパラメータを必要としない単一エッジの仮説検定と、正規分布やサブ正規分布の仮定を必要としない信頼サブグラフの構築を可能にし、弱い正則性条件のもとで漸近的に有効な被覆確率を達成する。

ABSTRACT

This paper proposes a unified framework to quantify local and global inferential uncertainty for high dimensional nonparanormal graphical models. In particular, we consider the problems of testing the presence of a single edge and constructing a uniform confidence subgraph. Due to the presence of unknown marginal transformations, we propose a pseudo likelihood based inferential approach. In sharp contrast to the existing high dimensional score test method, our method is free of tuning parameters given an initial estimator, and extends the scope of the existing likelihood based inferential framework. Furthermore, we propose a U-statistic multiplier bootstrap method to construct the confidence subgraph. We show that the constructed subgraph is contained in the true graph with probability greater than a given nominal level. Compared with existing methods for constructing confidence subgraphs, our method does not rely on Gaussian or sub-Gaussian assumptions. The theoretical properties of the proposed inferential methods are verified by thorough numerical experiments and real data analysis.

研究の動機と目的

• 高次元非正規グラフィカルモデルにおける推論の統一枠組みを構築し、局所的およびグローバルな不確実性を定量化すること。
• チューニングパラメータを必要としない疑似尤度アプローチを提案することで、高次元グラフィカルモデルにおける未知の周辺変換関数の課題に対処すること。
• 正規分布やサブ正規分布の仮定を必要とせず、与えられた名目水準で真のグラフを一様に被覆する信頼サブグラフを構築すること。
• 計算的・理論的障壁を克服することで、従来の尤度ベース推論枠組みを非正規モデルに拡張すること。

提案手法

• 未知の周辺変換関数 {fj} を除去するための疑似尤度アプローチを提案し、チューニングパラメータを必要としない。
• 仮説検定 H0: Θjk = 0 に対する疑似スコア検定を構築し、漸近的な第一種過誤制御と局所的パワー保証を達成する。
• 高次元U統計量から得られる検定統計量の分布を近似するためのU統計量マルチプライヤーブートストラップ法を開発する。
• 疑似尤度に起因する従属構造に対処するため、U統計量のHoeffding分解の主要項にマルチプライヤーブートストラップを適用する。
• ブートストラップを用いて、P(bG ⊆ G*) ≥ 1 − α が漸近的に成り立つ信頼サブグラフ bG を構築する。
• ホルダーの不等式とラプラシアンの中心極限定理を用いて、弱いモーメント条件のもとで検定統計量の漸近正規性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チューニングパラメータを必要とせず、高次元非正規グラフィカルモデルにおける有効な局所的推論（例：エッジ検定）は可能か？
• RQ2 正規分布やサブ正規分布の仮定を必要とせず、与えられた名目水準で真のグラフを一様に被覆する信頼サブグラフはどのように構築できるか？
• RQ3 非正規モデルにおける疑似尤度枠組み下での検定統計量の漸近的分布は何か？
• RQ4 周辺変換関数が未知で高次元である場合、既存の尤度ベース推論を非正規モデルに拡張することは可能か？
• RQ5 疑似尤度スコアから得られる高次元U統計量の分布を近似するのに適したブートストラップ法は何か？

主な発見

• 提案された疑似スコア検定は、弱い正則性条件のもとで漸近的に有効な第一種過誤制御と非自明な局所的パワーを達成する。
• U統計量マルチプライヤーブートストラップ法により、構築された信頼サブグラフ bG が P(bG ⊆ G*) ≥ 1 − α を漸近的に満たすことが保証される。
• 初期推定値が得られれば、チューニングパラメータが不要となるため、Dantzig選択子ベースのアプローチの計算不能性を克服する。
• 理論的保証は、サブ正規分布や正規分布の尾部を仮定せず、モーメントとスパarsityの仮定のみで確立される。
• 数値実験と実データ解析により、提案された推論枠組みのロバスト性と有効性が確認される。
• 本手法により、尤度ベース推論の適用範囲が非正規モデルに拡張され、高次元的依存構造における不確実性の定量化に新たなツールが提供される。