[論文レビュー] Local Anomalies, Local Equivariant Cohomology and the Variational Bicomplex

Roberto Ferreiro Pérez|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所的等長同相コホロジーと変分双複体を用いて、量子場理論における局所的異常を幾何学的枠組みで確立する。異常キャンセレーション条件—特に重力的、ゲージ的、混合異常—は、ジャネットバンドルにおける特定のコホロロジー類の消失に帰着され、相対ゲルファンド＝フッホコホロロジーとウェイリ多項式から明示的な基準が導出される。

ABSTRACT

The locality conditions for the vanishing of local anomalies in field theory are shown to admit a geometrical interpretation in terms of local equivariant cohomology, thus providing a method to deal with the problem of locality in the geometrical approaches to the study of local anomalies based on the Atiyah-Singer index theorem. The local cohomology is shown to be related to the cohomology of jet bundles by means of the variational bicomplex theory. Using these results and the techniques for the computation of the cohomology of invariant variational bicomplexes in terms of relative Gel'fand-Fuks cohomology introduced in [6], we obtain necessary and sufficient conditions for the cancellation of local gravitational and mixed anomalies.

研究の動機と目的

• シンガーが提起した問題に応じて、異常論の幾何的アプローチにおける適切な局所的コホロロジーの概念を定義すること。
• 局所的等長同相コホロロジーの観点から、異常キャンセレーションの局所性条件の幾何的解釈を提供すること。
• ジャネットバンドルコホロロジーを用いて、局所的重力的および混合異常のキャンセレーションに必要な十分な条件を導出すること。
• 変分双複体を介して、切断の空間の局所的コホロロジーとジャネットバンドルのコホロロジーとの間の同型を確立すること。
• これらの道具を、微分同相写像作用下のリーマン計量および主バンドル上の接続の自己同型作用に適用すること。

提案手法

• 形式 $\Im: \Omega^{n+k}(J^\infty E) \to \Omega^k(\Gamma(E))$ を用いて、$\Gamma(E)$ 上の局所形式を定義し、ジャネットバンドルから形式を引き上げる。
• 変分双複体形式を用いて、$\Gamma(E)$ のコホロロジーと $J^\infty E$ のコホロロジーとの関係を、特に内部オイラー作用素 $I$ を通じて関係づける。
• 群 $\mathcal{G}$ が $E$ 上に作用する場合の局所的 $\mathcal{G}$-不変コホロロジーを導入し、同型 $H_{\text{loc}}^k(\Gamma(E))^\mathcal{G} \cong H^k(\mathcal{F}^\bullet(J^\infty E))^\mathcal{G}$ を得る。
• 文献[3]の相対ゲルファンド＝フッホコホロロジー技術を用いて、不変変分双複体のコホロロジーを計算する。
• ファミリーに対するアティヤ＝シンガーの指数定理を用いて、決定的線束の等長同相接続を計算し、異常形式を導出する。
• 同型 $H_{\text{loc}}^2(\mathfrak{Met}M \times \mathcal{A}_P)^{\mathrm{Aut}^+P} \cong H^{n+2}(J^\infty(\mathcal{M}_M \times_M C(P)))^{\mathrm{Aut}^+P}$ を用いて、異常条件をコホロロジーの消失に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 場の理論における異常に関する局所性を捉えるのに適切な幾何的局所コホロロジーの概念は何か？
• RQ2 変分双複体とジャネットバンドル形式を用いて、切断の空間上の局所形式をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 局所的重力的および混合異常のキャンセレーションに必要な十分な条件は何か？
• RQ4 微分同相写像による計量上での作用と、接続上での自己同型作用が、局所的異常構造に与える影響は何か？
• RQ5 異常キャンセレーション条件は、特定の多様体やバンドルに依存せず、群構造と次元のみに依存して表現可能か？

主な発見

• 正の $k$ に対して、局所的コホロロジー $H_{\text{loc}}^k(\Gamma(E))$ は $H^{n+k}(J^\infty E)$ に同型であり、ジャネットバンドルを介したコホロロジー計算が可能になる。
• 微分同相写像作用下のリーマン計量の空間に対して、変分双複体と等長同相コホロロジーを用いて、非自明な局所的コホロロジー類を構成する。
• 混合重力的・ゲージ的異常のキャンセレーションにおける最初の障害は、コホロロジー類 $\Im\left[\left(\hat{A}(\mbox{\boldmath$\Omega$}) \wedge \mathrm{ch}^\rho(\mbox{\boldmath$\Omega$}) \wedge \mathrm{ch}^\beta(\mathbb{F})\right)_{n+2}\right]$ で与えられる。
• 混合異常は、ウェイリ多項式 $\hat{A}\mathrm{ch}^\rho \otimes \mathrm{ch}^\beta$ の $n/2+1$ 次成分 $Q$ が $I^{SO(n)} \otimes I^G$ 内で消失する場合に限りキャンセルされる。
• ゲージ異常と重力的異常は、障害類がコホロロジーの異なる成分に位置するため、互いにキャンセルし合えない。
• 異常キャンセレーション条件は、多様体の次元 $n$ と構造群 $G$ のみに依存し、特定の多様体やバンドルには依存しない。