[論文レビュー] Local automorphisms of some quantum mechanical structures

Lajos Molnár|ArXiv.org|Aug 8, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、可分な無限次元複素ヒルベルト空間 $H$ 上の冪等元の順序部分集合 $SP(H)$ における任意の連続的2局所自己同型が、実際に自己同型であることを確立する。さらに、射影の正規モジュラ順序部分集合 $P(H)$ および自己共役作用素のジョルダン環 $B(H)_h$ における2局所自己同型に対しても、構造的解析およびランク保存性、直交性、ジョルダン同型の性質を用いて、これらが自己同型であることを示している。

ABSTRACT

Let H be a separable infinite dimensional complex Hilbert space. We prove that every continuous 2-local automorphism of the poset (that is, partially ordered set) of all idempotents on H is an automorphism. Similar results concerning the orthomodular poset of all projections and the Jordan ring of all selfadjoint operators on H without the assumption on continuity are also presented.

研究の動機と目的

• 量子力学的構造、特に冪等元の順序部分集合、正規モジュラ射影の順序部分集合、自己共役作用素のジョルダン環における2局所自己同型が、必然的に自己同型であるかどうかを調査すること。
• 従来の $ C^* $-代数における局所自己同型に関する結果を、非線形的かつ2局所的な設定に拡張し、量子構造に適用すること。
• 連続性および2局所性の性質が、冪等元および射影の変換に課す構造的制約を特定すること。
• これらの構造における2局所自己同型の形を特徴付け、それが真の自己同型でなければならないことを証明すること。
• 2局所性に加え、ランクおよび直交性の保存性が、線形性を仮定しないまま、グローバルな自己同型構造を強制することを示すこと。

提案手法

• 2局所自己同型を、任意のペア $x,y$ に対して、$\phi(x) = \phi_{x,y}(x)$ および $\phi(y) = \phi_{x,y}(y)$ を満たす自己同型 $\phi_{x,y}$ が存在するような写像 $\phi$ として定義する。
• $SP(H)$ 上での $\phi$ の連続性を用いて、グレーゲンの定理を適用し、$\phi$ がランク1射影への作用によって一意に決定されることを保証する。
• $\phi$ が有限ランク、直交性、部分順序 $\leq$ を保存し、有限ランク冪等元上で有限直交加法的であることを証明する。
• 冪等元の構造とその和を用いて、$\phi$ を有限ランク作用素 $F(H)$ 上のジョルダン同型へ拡張する。
• 射影への誘導写像がジョルダン自己同型であることを示し、これによりユニタリまたは反ユニタリ作用素による共役によって生じることを示す。
• 2局所性およびノルム推定（例：$\|P - P'\| < 1$）を用いて、$\phi$ の成分分解において、無限大ランクの射影上で1つの成分が消えるならば、すべての成分が消えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分な無限次元ヒルベルト空間 $H$ 上の冪等元の順序部分集合における2局所自己同型は、必然的に自己同型であるか？
• RQ2 射影の正規モジュラ順序部分集合 $P(H)$ における2局所性が、連続性を仮定しないまま、写像を自己同型に強制するか？
• RQ3 射影の構造と実線形性を用いて、自己共役作用素のジョルダン環における2局所自己同型が自己同型であることを示せるか？
• RQ4 2局所自己同型をグローバル自己同型に強制するために必要な十分な構造的制約（例：ランク保存性、直交性）は何か？
• RQ5 2局所自己同型において線形性が欠如している場合、1局所の場合と比較して、それが自己同型である可能性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 可分な無限次元ヒルベルト空間 $H$ 上の冪等元の順序部分集合 $SP(H)$ における任意の連続的2局所自己同型は、自己同型である。
• ヒルベルト空間 $H$ 上の射影の正規モジュラ順序部分集合 $P(H)$ における2局所自己同型は、連続性を仮定しなくても自己同型である。
• $H$ 上の自己共役作用素のジョルダン環 $B(H)_h$ における2局所自己同型は自己同型であり、このような写像はユニタリまたは反ユニタリ作用素による共役によって実装される。
• $\phi$ は有限ランク冪等元のランクを保存し、$SP(H)$ の有限ランク元の集合上で有限直交加法的である。
• $\phi$ による射影への作用は、あるユニタリまたは反ユニタリ作用素 $U$ によって決定され、すべての射影 $P$ に対して $\phi(P) = UPU^*$ が成り立つ。
• 証明は、ノルム推定と2局所性に依拠し、$\phi$ の成分分解において、無限大ランクで余次元が無限大の射影上で1つの成分が消えるならば、その成分がすべて消えることを示している。