[論文レビュー] Local automorphisms of the unitary group and the general linear group on a Hilbert space

Lajos Molnár, Peter Šemrl|ArXiv.org|May 17, 2000

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、複素無限次元分離可能ヒルベルト空間上のユニタリ群や一般線形群の2局所自己同型が、実際にグローバル自己同型であることを証明している。この結果は、局所的な性質が2つの作用素に対して成り立つことで、グローバルな内部的または空間的実装が強制されることを示すことによって得られ、作用素代数の自己同型に関するスペクトル的性質と構造定理が利用されている。

ABSTRACT

We prove that every 2-local automorphism of the unitary group or the general linear group on a complex infinite-dimensional separable Hilbert space is an automorphism. Thus these types of transformations are completely determined by their local actions on the two-points subsets of the groups in question.

研究の動機と目的

• ユニタリ群や一般線形群のヒルベルト空間上における2局所自己同型—任意の2要素に対して、その2点である自己同型と一致する変換—が、必ずグローバル自己同型であるかどうかを同定すること。
• C*-代数における局所的および2局所的写像の理論を、非可換的かつ非単位的群、特にユニタリ群および一般線形群に拡張すること。
• 2点集合における局所的性質が、このような変換のグローバル構造を完全に決定することを確立すること。
• カジミールの局所的導分問題に類似した予想を、2局所設定における群自己同型に対して解くこと。

提案手法

• 2局所自己同型を、任意の2要素に対して、その2点で元の写像と一致する自己同型（その2要素に依存）が存在する写像として定義する。
• スペクトル定理を用い、射影 $P$ に対して $I - 2P$ がユニタリ作用素を生成することを用いて、$U(H)$ の2局所自己同型を射影格子の2局所自己同型に結びつける。
• 既知の結果として、射影の正規モジュラーラティスの2局所自己同型は、ユニタリまたは反ユニタリ作用素によって誘導される自己同型であることを適用する。
• 元の写像をこの作用素で共役することで、写像がすべての $I - 2P$ 作用素を固定する場合に還元し、解析を単純化する。
• ユニタリ作用素 $V$ および単位ベクトル $x$ に対して、二次形式 $\langle \phi(V)x, x \rangle$ を分析し、これが $\langle Vx, x \rangle$ またはその複素共役に等しいことを示し、$\phi(V) = V$ または $\phi(V) = V^*$ が得られることを導く。
• この選択 $\phi(V) = V$ または $\phi(V) = V^*$ がすべての $V$ に対して一貫していることを証明し、写像がユニタリ群上で恒等写像または複素共役写像であることを示す。
• $GL(H)$ の場合、$\phi(2iI) = 2iI$ を用いて、スペクトルとスカラー倍を保存する自己同型に還元し、$\psi(X) = \phi(X - \lambda I) + \lambda I$ を用いて $B(H)$ に写像を拡張する。
• $\psi$ が $B(H)$ の2局所自己同型であることを示し、既知の結果（$B(H)$ の2局所自己同型は内部的である）を適用することで、$\psi(X) = TXT^{-1}$（ある可逆な $T$ に対して）が成り立つ。よって、$\phi$ は $GL(H)$ 上で内部的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素無限次元分離可能ヒルベルト空間上のユニタリ群の2局所自己同型は、必ずグローバル自己同型であるか？
• RQ2 同じヒルベルト空間上の一般線形群に対しても同様の結論が成り立つか？
• RQ3 2局所的性質—任意の2要素のペアに対してある自己同型と一致する—は、非可換的かつ非単位的群において、グローバル自己同型構造を強制するか？
• RQ4 スペクトル的性質および射影の構造は、2局所自己同型のグローバル形をどの程度制限するか？
• RQ5 GL(H) の2局所自己同型を $B(H)$ に拡張できるか？もし可能であれば、これはそれが内部的であることを示唆するか？

主な発見

• 複素無限次元分離可能ヒルベルト空間上のユニタリ群 $U(H)$ の任意の2局所自己同型は、グローバル自己同型である。
• 同様の結論は一般線形群 $GL(H)$に対しても成り立つ：任意の2局所自己同型はグローバル自己同型である。
• $U(H)$ の2局所自己同型は、恒等写像または写像 $V \mapsto V^*$ のいずれかであり、群全体で一貫性があるため、グローバルに1つの選択が決定される。
• $GL(H)$ の場合、2局所自己同型は有界可逆線形作用素 $T$ による共役 $\phi(X) = TXT^{-1}$ によって実装され、したがって内部的自己同型である。
• GL(H) の2局所自己同型を $\psi(X) = \phi(X - \lambda I) + \lambda I$ を用いて $B(H)$ に拡張すると、$B(H)$ の2局所自己同型が得られ、これは既知の結果として内部的であることが分かっている。
• 証明は、十分に大きな虚部を持つ $\lambda$ に対して、集合 $K - \lambda$ が共役や逆元などの対称性を避けることを保証するスペクトル補題に依存しており、これにより自己同型の種類を分類するのを助ける。