[論文レビュー] Local bounds, Harnack inequality and Hölder continuity for divergence type elliptic equations with nonstardard growth

Noemí Wolanski|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、右辺に最小限の可積分性条件が課された、変動型指数 $p(x)$-成長を示す発散型楕円型方程式の非負弱解に対して、Harnack 不等式を確立する。右辺が変動型 Lebesgue 空間 $L^{q_0(x)}( abla)$ に属する場合、解の局所有界性および Hölder 継続性を証明し、解の最適依存性を $\|u^{p(x)}\|_{L^1( abla)}^{p_{\max}-p_{\min}}$ を通じて得る。解析は、log-Hölder 継続性を仮定した $p(x)$ と、強最大値原理のためのバリア構成に依存する。

ABSTRACT

In this paper we obtain a Harnack type inequality for solutions to elliptic equations in divergence form with non-standard $p(x)-$type growth. A model equation is the inhomogeneous $p(x)-$laplacian. Namely, \[ Δ_{p(x)}u:=\mbox{div}\big(| abla u|^{p(x)-2} abla u\big)=f(x)\quad\mbox{in}\quadΩ\] for which we prove Harnack inequality when $f\in L^{q_0}(Ω)$ if $\max\{1,\frac N{p_{min}}\}

研究の動機と目的

• 右辺 $f$ に最小可積分性が課された非同次 $p(x)$-ラプラシアン方程式 $\Delta_{p(x)}u = f(x)$ の非負弱解に対して Harnack 不等式を確立すること。
• 右辺 $f \in L^{q_0(x)}(\nabla)$ かつ $q_0(x) > \max\{1, N/p(x)\}$ の場合、弱解の局所有界性および Hölder 継続性を証明すること。
• 一般発散型楕円型方程式 $\mathrm{div}\,A(x,u,\nabla u) = B(x,u,\nabla u)$ に対して、$p(x)$-型成長を有する場合に結果を拡張すること。
• Harnack 定数が解に依存する最適な依存性を $\|u^{p(x)}\|_{L^1(\nabla)}^{p_{\max}-p_{\min}}$ を通じて表現し、$L^\infty$ ノルムを避けること。

提案手法

• 変動型指数空間における必要十分なコンパクト性および正則性を保証するため、指数 $p(x)$ の log-Hölder 継続性を仮定する。
• バリア関数 $w(x) = A \frac{e^{-\mu|x-x_0|^2/\delta^2} - e^{-\mu}}{e^{-\mu/4} - e^{-\mu}}$ の形をとる関数を用いて、$p(x)$-ラプラシアンの下位解を構成する。
• バリアによる比較を用いて強最大値原理を適用し、内部でゼロとなる非負解は恒等的にゼロでなければならないことを証明する。
• スケーリングの議論により問題を固定された中空領域に還元し、バリアの $p(x)$-ラプラシアンに関する点での評価を用いる。
• 中空領域内での $p(x)$-ラプラシアンの非正性を保証するため、$\mu^{-1}e^{\mu|x|^2}M^{-1}|\nabla w|^{2-p(x)}\Delta_{p(x)}w$ の下界を導出する。
• 解 $u$ とバリア $w$ を比較することで Harnack 不等式を確立し、$u \geq w$ かつ $u(y) = 0$ ならば $|\nabla u(y)| > 0$ でなければならないが、これは正の集合の境界における $C^1$ 正則性に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右辺 $f \in L^{q_0}(\nabla)$ かつ $\max\{1, N/p_{\min}\} < q_0 \leq \infty$ の場合、非同次 $p(x)$-ラプラシアン方程式に対して Harnack 不等式を確立できるか？
• RQ2 変動型指数設定下での Harnack 定数が解に依存する最適な依存性は何か？また、$\|u^{p(x)}\|_{L^1(\nabla)}^{p_{\max}-p_{\min}}$ を用いて表現可能か？
• RQ3 指数 $p(x)$ が log-Hölder 継続性を満たす場合、$p(x)$-ラプラシアン方程式に対して強最大値原理が成り立つか？また、バリア法による証明は可能か？
• RQ4 右辺が変動型 Lebesgue 空間 $L^{q_0(x)}(\nabla)$ に属する場合、弱解の局所有界性および Hölder 継続性は $p(x)$-型方程式に対して証明可能か？ただし $q_0(x) > \max\{1, N/p(x)\}$ を満たすものとする。
• RQ5 標準的な構造条件の下で、一般発散型方程式 $\mathrm{div}\,A(x,u,\nabla u) = B(x,u,\nabla u)$ に対して、$p(x)$-型成長を有する場合に結果を拡張可能か？

主な発見

• 右辺 $f \in L^{q_0}(\nabla)$ かつ $\max\{1, N/p_{\min}\} < q_0 \leq \infty$ の場合、非負弱解 $\Delta_{p(x)}u = f$ に対して Harnack 不等式が確立され、定数は $\|u^{p(x)}\|_{L^1(\nabla)}^{p_{\max}-p_{\min}}$ のみに依存する。
• Harnack 定数の解への依存性は最適であり、先行研究の反例により、これを除去することはできない。
• 右辺 $f \in L^{q_0(x)}(\nabla)$ かつ $q_0(x) > \max\{1, N/p(x)\}$ の場合、$p(x)$ の log-Hölder 継続性の下で、弱解の局所有界性および Hölder 継続性が証明される。
• 強最大値原理が成立する：$u \geq 0$ かつ $\Delta_{p(x)}u \leq 0$ である連結領域 $\nabla$ において、$u \equiv 0$ または $u > 0$ である。これは $p(x)$ がリーマン連続である場合に成立する。
• 中空領域で $\Delta_{p(x)}w \geq 0$ を満たし、外周で $w = 0$、内周で $w = A$ となるバリア関数が構成可能であり、これにより比較議論が可能になる。
• 強最大値原理の証明は背理法に依存する：$u$ が内部点でゼロであり、$\nabla u(y) = 0$ であるが、バリアでは $|\nabla w(y)| > 0$ であるとすると矛盾が生じる。これにより、$u$ が内部点でゼロとなるのは恒等的にゼロである場合に限ることが示される。