[論文レビュー] Local BRST cohomology for AKSZ field theories: a global approach I

Giulio Bonavolontà, Alexei Kotov|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、AKSZトポロジカル場理論における局所BRSTコホモロジーのグローバルな定式化を確立する。BRST作用素が局所的汎関数に作用するときのコホモロジーが、基底多様体のde Rhamコホモロジーと終域空間の$Q$-コホモロジーのテンソル積に同型であることを証明する。この結果は、局所的計算を任意の連結基底多様体に一般化するものであり、水平複体と適合性複体の形式的可積分性を用いる。

ABSTRACT

We study the Lagrangian antifield BRST formalism, formulated in terms of exterior horizontal forms on the infinite order jet space of graded fields for topological field theories associated to $Q$-bundles. In the case of a trivial Q-bundle with a flat fiber and arbitrary base, we prove that the BRST cohomology are isomorphic to the cohomology of the target space differential "twisted" by the de Rham cohomology of the base manifold. This generalizes the local result of G. Barnich and M. Grigoriev, computed for a flat base manifold.

研究の動機と目的

• AKSZ場理論の局所BRSTコホモロジー計算を、任意の連結基底多様体上でグローバルな設定に拡張すること。
• 無限階数のジャンプ空間における順位付き場の外微分水平形式を用いてBRST形式主義を定式化すること。
• 局所BRSTコホモロジー群が、基底のde Rhamコホモロジーと終域空間の$Q$-コホモロジーの積としてのねじれコホモロジーに同型であることを証明すること。
• 基底多様体の収縮性に依存する以前の結果を、より一般の幾何的設定に一般化すること。

提案手法

• 研究は、順位付き場バンドルの無限ジャンプ延長における微分形式の水平複体とジャンプ空間の形式的枠組みを用いる。
• BRST微分$\mathbf{s}$と水平微分$\mathrm{d}_h$によって定義される双複体構造に注目し、関連するスペクトル系列の$E_2$-項を扱う。
• 主な技術的道具は、$L$-捩れde Rham作用素と終域空間上の$Q$-構造に関連する適合性複体の形式的可積分性である。
• 証明は二段階に分かれる：まず、$H^{g,n}(\mathbf{s}|\mathrm{d}_h)$が全コホモロジー$H^{g+n}(\mathbf{s} + \mathrm{d}_h)$に同型であることを示し、次に、この全コホモロジーをKünneth型分解により計算する。
• $\mathcal{D}$-加群と$\mathcal{D}$-代数を用いて、ジャンプ空間と水平形式の層的構造を記述する。
• 重要な段階として、フィルトレーションの正則性と双複体内の特定の系列の完全性を用いて、スペクトル系列が$E_2$で退化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底多様体が収縮的ではなくても連結である場合、AKSZ場理論の局所BRSTコホモロジーはどのように振る舞うか？
• RQ2 基底空間と終域空間の幾何的不変量を用いて、BRSTコホモロジーのグローバル構造はどのように記述できるか？
• RQ3 BarnichとGrigorievの局所的結果を、収縮的基底に依存しないより一般の枠組みに一般化できるか？
• RQ4 $Q$-バンドルの文脈において、BRSTコホモロジーとde Rhamコホモロジー、$Q$-コホモロジーの正確な関係は何か？
• RQ5 ジャンプ空間上の水平複体構造は、AKSZ理論における物理的観測可能量と対称性をどのように記述するか？

主な発見

• 局所BRSTコホモロジー$H^{g,n}(\mathbf{s}|\mathrm{d}_h)$は、基底多様体$X$と$Q$-バンドルの終域空間$L$に対して、テンソル積$H^\bullet_{\mathrm{DR}}(X) \otimes H^\bullet_Q(L)$の$g+n$-次グレーディング成分に同型である。
• この同型は、任意の連結基底多様体$X$に対して成り立ち、以前の結果が$X$が収縮的であることを仮定していたのを一般化する。
• 証明は、反復コホモロジー$H^{g,n}(\mathbf{s}|\mathrm{d}_h)$が全コホモロジー$H^{g+n}(\mathbf{s} + \mathrm{d}_h)$に同型であることを示すことに依存し、その後にKünneth型の公式を用いて計算する。
• 双複体に関連するスペクトル系列は$E_2$で退化し、$E_2^{p,q} = H^p(H^q(\mathbf{s}+\mathrm{d}_h))$が全コホモロジーを完全に記述する。
• この結果は、$L$-捩れde Rham作用素と終域空間上の$Q$-構造から構成される適合性複体の形式的可積分性を用いて確立される。
• 重要な技術的補題として、ある特定の$\mathcal{D}$-加群の複体のコホモロジーが負の次数で消え、平坦バンドルの双対空間における対称テンソルの空間に同型であることが示され、スペクトル系列における高次のコホモロジーの消滅を確認する。