[論文レビュー] Local Cohomology of bigraded Rees algebras, Bhattacharya Coefficients and Joint Reductions

Clare D’Cruz, Shreedevi K. Masuti|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、次元2のコhen＝マカウレイ局域環における $\mathfrak{m}$-主理想に関連する二重次数付きリース代数の局所コホロジー加群の有限性を調査する。$H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)$ の次数付き成分が有限長であるための同値条件を、バタチャリヤ係数とヒルベルト係数を用いて確立し、$[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(0,0)}$ が有限長であるための必要十分条件が $e_{(1,0)} = e_1(I)$ および $e_{(0,1)} = e_1(J)$ であることを示している。

ABSTRACT

Let $(R,\mathfrak{m})$ be a Cohen-Macaulay local ring of dimension $2$, $I$ and $J$ $\mathfrak{m}-$primary ideals in $R$ and $(a,b)$ a joint reduction of $(I,J)$. In this paper we consider the problem whether $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal R^\prime)]_{(r,s)}$ has finite length as an $R-$module, where $\mathcal R^\prime$ denotes the bigraded extended Rees algebra of $I$ and $J$. We give an example to show that the answer is negative in general. For all $r,s \geq 0, $ we give equivalent conditions for $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal R^\prime)]_{(r,s)}$ to have finite length in terms of the first Bhattacharya coefficients $e_{(1,0)}$ and $e_{(0,1)}$ and the first Hilbert coefficient $e_1(I)$ and $e_1(J)$. Here $(a,b)$ is a joint reduction of $(I,J)$ satisfying superficial conditions. As a consequence we prove that $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal R^\prime)]_{(0,0)}$ has finite length if and only if $e_{(1,0)}= e_1(I)$ and $e_{(0,1)}=e_1(J)$. We give necessary and sufficient conditions for vanishing of $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ in terms of Bhattacharya coefficients and Hilbert coefficients.

研究の動機と目的

• 次数付き成分 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ が $R$-加群として有限長である条件を特定すること。
• $(I,J)$ の共同還元 $(a,b)$ がこれらのコホロジー成分の有限性を制御する役割を分析すること。
• $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ の有限性を、第一バタチャリヤ係数 $e_{(1,0)}$, $e_{(0,1)}$ および第一ヒルベルト係数 $e_1(I)$, $e_1(J)$ に関連付けること。
• これらの係数を用いて、$[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ の消滅に関する必要十分条件を提供すること。

提案手法

• 二重次数付き拡張リース代数 $\mathcal{R}^\prime$ を用いて、多重次数付き設定における局所コホロジーを研究すること。
• $(at_1, bt_2)$ を $\mathcal{R}^\prime$ のイデアルとして、第二コホロジー加群に局所コホロジー理論を適用すること。
• Rees代数の構造を用いて、$r,s \geq 0$ に対する次数付き成分 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ を分析すること。
• 有限性を特徴付ける不変量として、バタチャリヤ係数 $e_{(1,0)}$, $e_{(0,1)}$ およびヒルベルト係数 $e_1(I)$, $e_1(J)$ を用いること。
• 表面的条件を満たす共同還元 $(a,b)$ を用いて、局所コホロジー加群の解析を簡略化すること。
• $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ の有限性と、バタチャリヤ係数およびヒルベルト係数に関する特定の等式との同値性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、$r,s \geq 0$ に対して $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ が $R$-加群として有限長となるか？
• RQ2 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(0,0)}$ が有限長であるのはいつか？ そしてこれはヒルベルト係数およびバタチャリヤ係数とどのように関係するか？
• RQ3 第一バタチャリヤ係数 $e_{(1,0)}$, $e_{(0,1)}$ と第一ヒルベルト係数 $e_1(I)$, $e_1(J)$ の間の正確な関係は、局所コホロジー成分の有限性を決定づけるものか？
• RQ4 バタチャリヤ係数 $e_{(1,0)}$, $e_{(0,1)}$ およびヒルベルト係数 $e_1(I)$, $e_1(J)$ を用いて、$[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ の消滅に関する必要十分条件は何か？
• RQ5 すべての共同還元 $(a,b)$ に対して、$[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ の有限性が保証されるのか、それとも追加の制約が必要か？

主な発見

• 次数付き成分 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(0,0)}$ が有限長であるための必要十分条件は、$e_{(1,0)} = e_1(I)$ および $e_{(0,1)} = e_1(J)$ である。
• すべての $r,s \geq 0$ に対して、$[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ の有限性は、$(a,b)$ が表面的条件を満たす共同還元であるという仮定の下で、$e_{(1,0)}$, $e_{(0,1)}$, $e_1(I)$, $e_1(J)$ に関する条件と同値である。
• 一般に、$[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ が有限長でない例が構成され、これは共同還元に対しても成立する。
• $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ の消滅は、バタチャリヤ係数とヒルベルト係数の間の特定の関係によって特徴付けられる。
• この研究は、理想 $I$ と $J$ の代数的不変量と、それらの二重次数付きリース代数のコホロジー的挙動との間の明確な関係を確立する。
• 論文は、既知の共同還元およびヒルベルト関数の理論における結果を拡張し、古典的不変量を用いて局所コホロジー成分の有限性および消滅の完全な特徴付けを提供する。