[論文レビュー] Local controllability of reaction-diffusion systems around nonnegative stationary states

Kévin Le Balc’h|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、m < n 個の局所的制御を用いて、可逆的化学反応をモデル化する非線形 n×n 反応拡散系が非負の定常状態に局所的に正確に制御可能であることを確立する。アプローチは、変数変換による系の分離、新たな L∞-適応型源項法、逆写像定理の組み合わせであり、有限次元部分系におけるスペクトル不等式および観測可能性推定値を活用して、動的における不変量が存在するにもかかわらず、任意の T > 0 において制御可能であることを達成する。

ABSTRACT

We consider a $n \ imes n$ nonlinear reaction-diffusion system posed on a smooth bounded domain $\\Omega$ of $\\mathbb{R}^N$. This system models reversible chemical reactions. We act on the system through $m$ controls ($1 \\leq m &lt; n$), localized in some arbitrary nonempty open subset $\\omega$ of the domain $\\Omega$. We prove the local exact controllability to nonnegative (constant) stationary states in any time $T &gt;0$. A specificity of this control system is the existence of some invariant quantities in the nonlinear dynamics that prevents controllability from happening in the whole space $L^\\infty(\\Omega)^n$. The proof relies on several ingredients. First, an adequate affine change of variables transforms the system into a cascade system with second order coupling terms. Secondly, we establish a new null-controllability result for the linearized system thanks to a spectral inequality for finite sums of eigenfunctions of the Neumann Laplacian operator, due to David Jerison, Gilles Lebeau and Luc Robbiano and precise observability inequalities for a family of finite dimensional systems. Thirdly, the source term method, introduced by Yuning Liu, Tak\\'eo Takahashi and Marius Tucsnak, is revisited in a $L^{\\infty}$-context. Finally, an appropriate inverse mapping theorem enables to go back to the nonlinear reaction-diffusion system.

研究の動機と目的

• 可逆的化学動態を有する反応拡散系が非負の定常状態に局所的に正確に制御可能であるという未解決問題に取り組む。
• 全空間における制御可能性を阻害する非線形力学における不変量がもたらす障害を克服する。
• 空でない開集合 ω ⊂ Ω 内の m < n 個の局所的制御を用いて、任意の時間 T > 0 において制御可能であることを確立する。
• 制御構築のための源項法を L² から L∞-枠組みに拡張する。
• 適切な関数空間における逆写像定理を適用して、線形化された設定から非線形系の制御可能性を回復する。

提案手法

• アフィンな変数変換を用いて、元の反応拡散系を2階の結合項を持つ級列系に変換する。
• ジェリソン、ルベア、ロビアンの結果に基づく、ノイマンラプラシアンの固有関数の有限和に関するスペクトル不等式を用いて、線形化系のゼロ制御可能性を証明する。
• ルベア＝ロビアンの手法とエネルギー推定値を用いて、有限次元部分系に対する明確な観測可能性不等式を確立する。
• リウ、タカハシ、トゥクスナックの源項法を再考し、非線形枠組みにおける制御構築のための L∞-設定に適応する。
• 適切な関数空間における逆写像定理を適用して、線形系の制御可能性結果を完全な非線形系に拡張する。
• ペナルティ付きヒルベルト一意性法（HUM）を用いて、指数的減衰を伴う時間局所的制御問題の系列を解くことにより L∞-制御を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆的化学反応をモデル化する反応拡散系が、状態変数の数より少ない制御数 m < n を用いて、非負の定常状態に局所的に正確に制御可能か？
• RQ2 非線形力学における不変量の存在は、局所的正確制御可能性とどのように調和するか？
• RQ3 非線形放物型系における制御構築のため、源項法を L² から L∞-枠組みに拡張することは可能か？
• RQ4 ノイマンラプラシアンのスペクトル的性質は、系の有限次元射影における観測可能性および制御可能性を達成するために果たす役割は何か？
• RQ5 L∞-型空間において逆写像定理を適用することで、線形化近似から非線形制御可能性を回復できるか？

主な発見

• m < n 個の局所的制御を用いて、任意の時間 T > 0 において、n×n 反応拡散系が非負の定常状態に局所的に正確に制御可能であることが達成された。
• 可逆反応における質量保存から生じる系の不変量は、非負の定常状態に制限された場合には制御可能性を妨げない。
• ノイマン固有関数の有限和に関するスペクトル不等式を用いて、線形化系に対する新たなゼロ制御可能性結果が確立され、コスト推定値が Ce^{C/T} の形を取ることが示された。
• 源項法が L∞-設定に成功裏に適応され、ペナルティ付き HUM アプローチと時間区間の連結を用いて L∞-制御の構築が可能となった。
• 適切な L∞-枠組みにおいて逆写像定理が適用され、線形系の制御可能性結果が完全な非線形系に拡張され、局所的正確制御可能性が保証された。
• グローバル古典解の存在を仮定せず、局所的適切性と L∞ におけるエネルギー推定値に依存することで、制御可能性が達成された。