[論文レビュー] Local Convergence of Adaptive Methods for Nonlinear Partial Differential Equations

Michael Holst, Gantumur Tsogtgerel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 66被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、非線形楕円型PDEに適用される適応型有限要素法（AFEM）の収束理論を確立する。2つの抽象的枠組みを導入する：局所リプシッツ連続な Gateaux 微分と局所インフラ・スーパーバイアス条件を満たす非線形作用素に対して弱-* 収束を用いるアプローチ、および線形収束結果を非線形問題へ拡張する強収縮枠組みである。主な貢献は、半線形方程式、ナビエ＝ストークス方程式、一般相対性理論におけるハミルトニアン制約など、重要な非線形設定においてAFEMの収束と収縮を証明することにある。

ABSTRACT

In this article we develop convergence theory for a general class of adaptive approximation algorithms for abstract nonlinear operator equations on Banach spaces, and use the theory to obtain convergence results for practical adaptive finite element methods (AFEM) applied to several classes of nonlinear elliptic equations. In the first part of the paper, we develop a weak-* convergence framework for nonlinear operators, whose Gateaux derivatives are locally Lipschitz and satisfy a local inf-sup condition. The framework can be viewed as extending the recent convergence results for linear problems of Morin, Siebert and Veeser to a general nonlinear setting. We formulate an abstract adaptive approximation algorithm for nonlinear operator equations in Banach spaces with local structure. The weak-* convergence framework is then applied to this class of abstract locally adaptive algorithms, giving a general convergence result. The convergence result is then applied to a standard AFEM algorithm in the case of several semilinear and quasi-linear scalar elliptic equations and elliptic systems, including: a semilinear problem with subcritical nonlinearity, the steady Navier-Stokes equations, and a quasilinear problem with nonlinear diffusion. This yields several new AFEM convergence results for these nonlinear problems. In the second part of the paper we develop a second abstract convergence framework based on strong contraction, extending the recent contraction results for linear problems of Cascon, Kreuzer, Nochetto, and Siebert and of Mekchay and Nochetto to abstract nonlinear problems. The contraction result is then applied to a standard AFEM algorithm for semilinear problems with sub- and super-critical nonlinearities and for the Hamiltonian constraint in general relativity.

研究の動機と目的

• Banach空間における非線形作用素方程式に適応的近似アルゴリズムを適用する一般の収束理論を構築すること。
• モリン、ジークター、ビーザーの線形収束結果を、非線形設定に一般化する弱-* 収束枠組みを用いて拡張すること。
• 非線形問題に一般化された収縮に基づく収束枠組みを確立し、カスコン、クルーザー、ノチェット、ジークターの結果を拡張すること。
• 両枠組みを、半線形および擬線形楕円型方程式に適用する具体的なAFEMアルゴリズムに適用すること。
• ポisson-Boltzmann方程式や一般相対性理論におけるハミルトニアン制約方程式など、困難な非線形問題においてAFEMの収束と収縮を証明すること。

提案手法

• 局所構造を持つBanach空間における、SOLVE-ESTIMATE-MARK-REFINE ループに基づく抽象的適応アルゴリズムを定式化する。
• 局所リプシッツ連続な Gateaux 微分と局所インフラ・スーパーバイアス条件に依存する非線形作用素のための弱-* 収束枠組みを構築する。
• 弱-* 枠組みを用いて、半線形および擬線形楕円型問題に適用したAFEMの一般収束結果を導出する。
• 強収縮に基づく第二の抽象的枠組みを導入し、準直交性と各適応ステップごとの誤差低減を要件とする。
• 抽象的適応アルゴリズムに収縮枠組みが適用可能となる条件を確立し、非線形問題における収束を保証する。
• 両枠組みを、非線形性が臨界より小さい半線形問題、ナビエ＝ストークス方程式、ポアソン＝ボルツマン方程式、および一般相対性理論におけるハミルトニアン制約方程式といった具体的なPDEに適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形の場合を除く一般の非線形楕円型PDEのクラスに対して、適応型有限要素法の収束を確立できるか？
• RQ2 非線形作用素（例：Gateaux微分、インフラ・スーパーバイアス条件）にどのような条件下で、弱-* 収束枠組みが適応的アルゴリズムの収束を保証するか？
• RQ3 線形問題に対する収縮に基づく収束理論を、局所リプシッツ連続作用素を持つ非線形問題へ拡張できるか？
• RQ4 AFEMの収縮を非線形設定で達成するために、必要な十分な構造的性質（例：準直交性、局所リプシッツ連続性）は何か？
• RQ5 提案された枠組みは、一般相対性理論におけるハミルトニアン制約方程式といった重要な非線形PDEに対して、新たな収束および収縮結果をもたらすか？

主な発見

• 弱-* 収束枠組みは、局所リプシッツ連続な Gateaux 微分と局所インフラ・スーパーバイアス条件を満たす広範な非線形作用素クラスに、線形問題からの収束結果を成功裏に拡張した。
• 臨界より小さい非線形性を有する半線形問題、定常ナビエ＝ストークス方程式、一般の擬線形拡散問題に対してAFEMの収束が証明された。
• 局所準直交性と各ステップでの誤差低減を要件とする収縮に基づく枠組みが、抽象的非線形適応アルゴリズムに対して確立された。
• ポアソン＝ボルツマン方程式および一般相対性理論におけるハミルトニアン制約方程式に対してAFEMの収縮が証明され、これらの非線形設定における新たな収束結果が得られた。
• 人工的な仮定（内部ノード性、データ振動のための追加マーク）を排除し、以前の線形収束結果を改善した。
• 初期メッシュ解像度や追加のマークステップを要件とせず、代わりに事前 $L^∞$ 界と非線形性の局所リプシッツ制御に依存することで収束を保証する枠組みが得られた。