[論文レビュー] Local convergence of spectra and pseudospectra

Sabine Bögli|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、異なるヒルベルト空間上で作用する線形作用素の列が一般化された強いリゾルベント収束する場合のスペクトルおよび擬スペクトルの局所的収束を確立する。非自己共役かつ非コンパクト作用素にも適用可能な新規な枠組みを用いて、極限の本質的スペクトルおよび本質的ε近傍スペクトルの外側でスペクトル的および擬スペクトル的正確性を証明する。これは、ガラーキン法や領域切断法を含む、非自己共役作用素の近似に応用可能である。

ABSTRACT

We prove local convergence results for the spectra and pseudospectra of sequences of linear operators acting in different Hilbert spaces and converging in generalised strong resolvent sense to an operator with possibly non-empty essential spectrum. We establish local spectral exactness outside the limiting essential spectrum, local $\varepsilon$-pseudospectral exactness outside the limiting essential $\varepsilon$-near spectrum, and discuss properties of these two notions including perturbation results.

研究の動機と目的

• スペクトル汚染や包含関係の欠如が一般的な非自己共役作用素近似におけるスペクトル収束の課題に対処すること。
• 自己共役またはコンパクトリゾルベント作用素に限らない一般の列に対して、本質的スペクトルが空でない場合のスペクトル収束結果を拡張すること。
• 微分作用素のガラーキン法および領域切断法に適用可能な統一的な枠組みを提供すること。
• 作用素ノルムまたはノルムリゾルベント収束よりも弱い収束仮定の下で、局所的スペクトルおよび擬スペクトル的正確性を確立すること。
• 極限の本質的スペクトルおよび極限の本質的ε近傍スペクトルを定義し、収束の自然な障壁として分析すること。

提案手法

• 共通の環境ヒルベルト空間H₀における一般化された強いリゾルベント収束を定義し、射影リゾルベント(Tₙ − λ)⁻¹Pₙが強収束で(T − λ)⁻¹Pに収束することを仮定する。
• 極限の本質的スペクトルσₗₑₛₛ((Tₙ)ₙ∈ℕ)を、D(Tₙ)内の正規化されたベクトル列が弱収束でゼロに近づき、かつ∥(Tₙ − λ)xₙ∥ → 0 となるλの集合として定義する。
• 同様に、極限の本質的ε近傍スペクトルΛₑₛₛ,ₑ((Tₙ)ₙ∈ℕ)を定義し、∥(Tₙ − λ)xₙ∥ → ε となるλの集合とする。
• コンパクト集合において、スペクトルおよび擬スペクトルの収束をハウスドルフ距離を用いて定量的に評価する。
• 摂動を取り扱い、収束を保証するために、(Sₙ(Tₙ − λ₀)⁻¹)ₙ∈ℕのような列の離散コンパクト性を証明する。
• フーリエ基底への射影および有限切断を用いて、ガラーキン近似および領域切断に理論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素の列Tₙのスペクトルが、Tのスペクトルに局所的に収束するのはどのような条件下か。特にTの本質的スペクトルが空でない場合に限る。
• RQ2 一般化された強いリゾルベント収束のもとで、極限の本質的ε近傍スペクトルの外側で擬スペクトル収束を保証できるか。
• RQ3 摂動が作用素近似における極限の本質的スペクトルおよび本質的ε近傍スペクトルに与える影響はいかなるものか。
• RQ4 ガラーキン法および領域切断法が、非自己共役問題におけるスペクトルおよび擬スペクトル構造をどの程度保っているか。
• RQ5 離散コンパクト性が、極限におけるスペクトル的および擬スペクトル的正確性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 極限の本質的スペクトルの外側ではスペクトル収束が局所的に成立する：任意のσₗₑₛₛ((Tₙ)ₙ∈ℕ)と交差しないコンパクトKに対してlimₙ→∞σ(Tₙ) ∩K = σ(T) ∩Kが成り立つ。
• 極限の本質的ε近傍スペクトルの外側では擬スペクトル収束が局所的に成立する：任意のΛₑₛₛ,ₑ((Tₙ)ₙ∈ℕ)と交差しないコンパクトKに対してlimₙ→∞σₑ(Tₙ) ∩K = σₑ(T) ∩Kが成り立つ。
• 極限の本質的スペクトルσₗₑₛₛ((Tₙ)ₙ∈ℕ)は、相対的にコンパクトな摂動に関して不変であり、スペクトル写像定理（定理2.5）によって示された。
• ブロック対角優勢行列へのガラーキン法を適用した場合、極限の本質的スペクトルの外側でスペクトル的および擬スペクトル的正確性が成立する（定理4.4）。
• 定数係数PDEの摂動版における領域切断では、有限フーリエ断片による近似An;nがスペクトル的および擬スペクトル的正確性を保つ（定理4.5）、例4.6で数値的検証が行われた。
• 本フレームワークは、自己共役性、有界性、コンパクトリゾルベントの要請を必要とせず、スペクトル近似理論の古典的結果を拡張する。