[論文レビュー] Local Criteria for Quasirandomness and the Ultraproducts of Quasirandom Groups

Yilong Yang|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、非アーベル有限単純群の超積が、有限単純群であるか、非自明な有限次元ユニタリ表現をもたないかのいずれかであることを確立している。この結果をクェイジラウド群へ一般化し、特定の構造的条件下で、よりクェイジラウド化が進む群の系列に対して、超積が最小的 almost 有界となることを証明した。群の分類論および長さ関数の道具を用いて到達した。

ABSTRACT

In this paper, we shall prove that an ultraproduct of non-abelian finite simple groups is either finite simple, or has no finite dimensional unitary representation other than the trivial one. Then we shall generalize this result for other kinds of quasirandom groups. A group is called D- quasirandom if all of its nontrivial representations over the complex numbers have dimensions at least D. We shall study the question of whether a non-principal ultraproduct of a given sequence of quasirandom groups remains quasirandom, and whether an ultraproduct of increasingly quasirandom groups becomes minimally almost periodic (i.e. no non-trivial finite-dimensional unitary representation at all). We answer this question in the affirmative when the groups in question are simple, quasisimple, semisimple, or when the groups in question have bounded number of conjugacy classes in their cosocles (the intersection of all maximal normal subgroups), or when the groups are arbitrary products (not necessarily finite) of the groups just listed. We shall also present with an ultraproduct of increasingly quasirandom groups with a non-trivial one-dimensional representation. We also obtain some results in the case of semi-direct products and short exact sequences of quasirandom groups. Finally, two applications of our results are given, one in triangle patterns of quasirandom groups and one in self-Bohrifying groups. Our main tools are some variations of the covering number for groups, different kinds of length functions on groups, and the classification of finite simple groups.

研究の動機と目的

• クェイジラウド群の超積が、いつクェイジラウド性を保つかを特定すること。
• 有限単純群、クェasi単純群、半単純群の超積の表現論的性質を分析すること。
• コソクルに有界な共役類をもつ群や、それらの群の任意の積に対して、結果を拡張すること。
• 非自明な1次元表現をもつ、次第にクェイジラウド化が進む群の系列の超積の例を構成すること。
• クェイジラウドな文脈において、半直積や短完全系列の超積における構造的挙動を調査すること。

提案手法

• 有限単純群の分類を用いて、クェイジラウド群の超積の構造を分析すること。
• 群の生成や表現の境界を研究するため、被覆数の概念の変種を導入すること。
• 群上の異なる種類の長さ関数を用いて、超積における表現次元を制御すること。
• 非主超フィルターを介したモデル理論的技法を用いて、超積の構成と分析を行うこと。
• 最大正規部分群のすべての交わりであるコソクルを分析することで、共役類の数を制限し、表現論を制御すること。
• 表現論的制約と群論的性質を組み合わせることで、ユニタリ表現の最小性を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クェイジラウド群の超積がいつクェイジラウドのままであるか。
• RQ2 次第にクェイジラウド化が進む群の超積は、最小的 almost 有界（非自明な有限次元ユニタリ表現をもたない）となるか。
• RQ3 コソクルにおける共役類の数が有界であるという構造的性質は、超積の表現論にどのように影響するか。
• RQ4 クェイジラウド群の半直積や短完全系列の超積をとったとき、ユニタリ表現理論はどのように変化するか。
• RQ5 次第にクェイジラウド化が進む群の超積が、非自明な1次元表現をもつことは可能か。

主な発見

• 非アーベル有限単純群の超積は、有限単純群であるか、非自明な有限次元ユニタリ表現をもたない。
• 単純群、クェasi単純群、半単純群の超積は、群が次第にクェイジラウド化する場合、最小的 almost 有界である。
• コソクルに有界な共役類数をもつ群の超積は、クェイジラウド化が進むと最小的 almost 有界となる。
• 上記の群クラスの任意の積の超積に対しても、クェイジラウド化が進むと最小的 almost 有界な群が得られる。
• 非自明な1次元表現をもつ、次第にクェイジラウド化が進む群の系列の超積の明示的構成が与えられた。
• 結果はクェイジラウド群における三角形パターンや自己ボーリング群に適用可能であり、構造的制約を提供する。