[論文レビュー] Local density of solutions of time and space fractional equations

Alessandro Carbotti, Serena Dipierro+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、時間および空間の分数マクロ偏微分方程式の解の局所的密度を確立している。任意の滑らかな関数が、時間および空間の古典的および分数マクロ微分を組み合わせた一般線形作用素の核に属する関数により、$ C^{u} $-ノルムで任意に近似的に近似可能であることを示している。主な結果は、古典的PDEとは異なり、剛性に欠ける非局所的解空間を示しており、記憶効果や異常拡散を特徴とする非局所方程式の解によって、任意関数を近似可能であることを示している。

ABSTRACT

We prove that any given function can be smoothly approximated by functions lying in the kernel of a linear operator involving at least one fractional component. The setting in which we work is very general, since it takes into account anomalous diffusion, with possible fractional components in both space and time. The operators studied comprise the case of the sum of classical and fractional Laplacians, possibly of different orders, in the space variables, and classical or fractional derivatives in the time variables. This type of approximation results shows that space-fractional and time-fractional equations exhibit a variety of solutions which is much richer and more abundant than in the case of classical diffusion.

研究の動機と目的

• 時間および空間の古典的および分数マクロ微分を組み合わせた線形作用素の解空間を調査すること。
• 任意の滑らかな関数が、このような非局所作用素の核に属する解により近似可能かどうかを特定すること。
• 非局所方程式が、古典的PDEとは著しく豊かで柔軟性に富んだ解構造を示すことを確立すること。
• 時間および空間の分数マクロ作用素の核が、$ C^{\nu} $-位相において滑らかな関数の空間において稠密であることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、$ \eta \to 0 $ の下で、$ u(x,y,t) = \sum_{j=1}^{J} c_j u_j(\eta^{1/r}x, \eta^{1/2s}y, \eta^{1/\alpha}t) $ というスケーリングおよび摂動の議論を用いる。
• 与えられた関数 $ f $ を $ \Lambda_{-\infty}u = 0 $ の解により近似する際の誤差を、任意に小さくできるという重要なスパン結果を適用する。
• 証明は、時間にキャプトゥー分数マクロ微分と空間に分数ラプラシアンを用いることで、非局所的かつ記憶依存的動的を可能にする。
• 近似関数のコンパクトな台と滑らかさを保証するため、分割単位および滑らかなカットオフ関数を用いる。
• 単項式の場合、近似誤差は $ C\eta $ で有界であり、$ \eta $ を十分に小さくすることで、任意の $ \epsilon > 0 $ より小さくできる。
• 線形性を用いて単項式から多項式へ、さらに多項式近似に基づく密度論的議論により、一般の $ C^\ell $ 関数へと結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界領域上の任意の滑らかな関数は、空間および時間の分数マクロ微分を含む線形非局所作用素の解により、$ C^\ell $-ノルムで近似可能か？
• RQ2 時間および空間の古典的および分数マクロ微分を組み合わせた一般非局所作用素の核は、滑らかさ位相において稠密な解空間を有するか？
• RQ3 時間および空間の分数マクロ作用素の非局所的構造は、古典的PDEと比較して、どのようにより豊かな解行動を可能にするか？
• RQ4 特に領域境界付近において、このような非局所方程式の解の境界挙動および正則性はいかなるものか？
• RQ5 分数マクロPDEの解空間は、異常拡散や記憶効果といった複雑な現象をどれほど正確にモデル化できるか？

主な発見

• 有界領域上の任意の $ C^\ell $ 関数は、空間および時間の分数マクロ微分を含む線形作用素の核に属する関数により、$ C^\ell $-ノルムで近似可能である。
• 近似誤差は任意の与えられた $ \epsilon > 0 $ より小さくできる。誤差は $ C\eta $ で有界であり、$ C > 0 $ で、$ \eta $ は近似関数のスケーリングを制御する。
• 非局所作用素 $ \Lambda_{-\infty}u = 0 $ の解空間は、滑らかな関数の空間において稠密である。これは、作用素に古典的および分数マクロ微分が混在している場合でも成り立つ。
• この方法は構造的制限のない関数に一様に適用可能であり、古典的PDEに欠ける根本的な非局所的柔軟性を示している。
• 異なる次数の分数ラプラシアンとキャプトゥー型時間微分を組み合わせた作用素に対しても結果が成り立つことから、広範な適用可能性が確認された。
• 構成により、近似関数は滑らかでコンパクトな台を持ち、半空間領域で必要な同次方程式を満たしており、正則性および減衰性が保たれている。