[論文レビュー] Local effectivity in projective spaces

Marcin Dumnicki, Tomasz Szemberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ネフ性ではなく効果性に基づく除数の分解を用いて、射影空間内の非常に一般な点のワルドシュミット定数を再帰的に評価する新しい手法、ワルドシュミット分解を導入する。この手法により、デメールの予想が新たなケースで検証される有効な下界が得られ、特に $\widehat{\alpha}(\mathbb{P}^4;180) \geq 3.495$ および $\mathbb{P}^5$ においてたった1649点で改善された下界が得られる。

ABSTRACT

In this note we introduce a Waldschmidt decomposition of divisors which might be viewed as a generalization of Zariski decomposition based on the effectivity rather than the nefness of divisors. As an immediate application we prove a recursive formula providing new effective lower bounds on Waldschmidt constants of very general points in projective spaces. We use these bounds in order to verify Demailly's conjecture in a number of new cases.

研究の動機と目的

• 射影空間内の非常に一般な点のワルドシュミット定数を再帰的に評価する新しい手法を開発すること。
• ネフ性ではなく効果性に注目することで、ザルスキ分解を一般化し、除数のワルドシュミット分解を導入すること。
• デメールの予想が未検証のケースで検証可能な有効な下界を、ワルドシュミット定数に対して提供すること。
• ヒューリスティックな分布戦略を用いて、計算的に効率的なアルゴリズムを提供し、ワルドシュミット定数を推定すること。
• 超平面に点を配置する組合せ最適化を通じて、一般な有効な下界を確立すること。

提案手法

• ネフ性ではなく $f^*L - tE$ の効果性に基づき、ザルスキ分解の一般化として除数のワルドシュミット分解を導入する。
• $\mu$-不変量およびその逆数、すなわちワルドシュミット定数 $\widehat{\alpha}(X;L,Z)$ を定義し、局所的効果性の尺度として用いる。
• 再帰的降下法を用いる：$\mathbb{P}^N$ 上の除数を $k+1$ 個の $\mathbb{P}^{N-1}$ 上の除数に分解し、重複度の分布を最適化する。
• 制約 $k r_1 + r_{k+1} \leq r$ の下で $\sum_{j=1}^k \frac{1}{\sqrt[N-1]{r_j}}$ を最小化するためのヒューリスティック戦略を適用し、$r_j$ の値がほぼ等しくなるようにする。
• 二段階のアルゴリズムを実装する：高速計算用の（bound）とよりタイトな境界を得るための（boundmore）で、Singularを用いる。
• 例えば、$k+1$ 個の超平面に $r$ 個の点を配置する際、$(k+1)^{N-1}$ 個のグループが $s$ 個、$k^{N-1}$ 個のグループが $k-s$ 個となるように分布を最適化することで、一般の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 効果性に基づく再帰的分解法が、射影空間におけるワルドシュミット定数の下界を改善できるか。
• RQ2 ワルドシュミット分解は、ネフ性を効果性に置き換えることで、ザルスキ分解をどの程度一般化できるか。
• RQ3 デメールの予想が未検証のケースで検証可能な有効な下界を、ワルドシュミット定数に対して導出できるか。
• RQ4 高次元の射影空間において、計算の効率を高めつつも、タイトな境界を維持するにはどうすればよいか。
• RQ5 超平面に点をどのように配置すれば、$\widehat{\alpha}(\mathbb{P}^N;r)$ の下界を最も強くできるか。

主な発見

• ワルドシュミット分解により、重複度の最適化を伴う $\mathbb{P}^{N-1}$ への降下を用いて、$\widehat{\alpha}(\mathbb{P}^N;r)$ を再帰的に評価する手法が提供される。
• $\mathbb{P}^4$ において $r = 180$ の場合、下界 $\widehat{\alpha}(\mathbb{P}^4;180) \geq 3.495$ が達成され、具体的には $430502824/123159135$ に相当する。
• 命題4.4を用いることで、$\widehat{\alpha}(\mathbb{P}^5;1649) \geq 4 + \frac{1}{5} = 4.2$ が確立され、次回の整数下界を得るための3125点ではなく、わずか1649点で十分である。
• $\mathbb{P}^5$ において、$\widehat{\alpha}(\mathbb{P}^5;2018) \geq 4.4$、$\widehat{\alpha}(\mathbb{P}^5;2387) \geq 4.6$、$\widehat{\alpha}(\mathbb{P}^5;2756) \geq 4.8$ が最小の点数で検証される。
• 各 $r_j$ の値をほぼ等しくするヒューリスティック法により、$\sum \frac{1}{\sqrt[N-1]{r_j}}$ が最小化され、計算コストを低減しつつよりタイトな境界が得られる。
• Singularを用いたアルゴリズム実装（bound および boundmore）により、$N \geq 100$ であってもスケーラブルな境界計算が可能となり、boundmore は実行時間は長くなるが、より優れた結果をもたらす。