[論文レビュー] Local Entropy and Generic Multiplicity One Singularities of Mean Curvature Flow of Surfaces

Ao Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、R³ 内の閉じた埋め込まれた曲面の平均曲率流れにおける一般の特異点が、常に多重度1、具体的には球面であることを証明している。著者たちは、高重複度の自己縮小型の局所エントロピーを下回るような流れの小さな摂動を構成することで、このような特異点を回避できることを示し、Ilmanen の多重度1予想の一般版が解決されたことを確認した。

ABSTRACT

In this paper we prove that the generic singularities of mean curvature flow of closed embedded surfaces in $\mathbb R^3$ modeled by closed self-shrinkers with multiplicity has multiplicity one. Together with the previous result by Colding-Minicozzi in [CM12], we conclude that the only generic singularity of mean curvature flow of closed embedded surfaces in $\mathbb R^3$ modeled by closed self-shrinkers is a multiplicity one sphere. We also construct particular perturbations of the flow to avoid those singularities with multiplicity higher than one. Our result partially addresses the well-known multiplicity one conjecture by Ilmanen.

研究の動機と目的

• R³ 内の閉じた埋め込まれた曲面の平均曲率流れにおける Ilmanen の多重度1予想の一般版を解決すること。
• 多重度が1より大きい閉じた自己縮小型の特異点は、摂動によって消去可能であることを示すこと。
• すべての可能な特異点の中で、唯一の一般特異点は多重度1の球面であることを確立すること。
• 高重複度の自己縮小型はエントロピー不安定であることを示し、したがって一般特異点ではないことを示すこと。
• 高重複度の接頭型が発生しないようにする、流れの明示的摂動を構成すること。

提案手法

• 異なる多重度を持つ自己縮小型の安定性を比較するための変分的道具としての局所エントロピーの使用。
• 遅い時刻スライスにおける流れへの摂動の構成。同相性を保ち、ハウスドルフ距離を制御する。
• 放物型最大原理の適用により、固定された球が内部に残っている場合、一点への特異点形成を除外する。
• スケーリングと吹き上げ解析を用いて、摂動された流れの挙動を極限の自己縮小型のエントロピーに関連付ける。
• Colding-Minicozzi の球面および一般化された円筒のエントロピー安定性に関する結果を活用し、一般特異点を同定する。
• 背理法による証明：高重複度の自己縮小型が一般特異点であると仮定すると、そのエントロピーは最小であるはずだが、実際には不安定であることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重度が1より大きい閉じた自己縮小型でモデル化された特異点は、平均曲率流れの摂動によって回避可能か？
• RQ2 R³ 内の閉じた埋め込まれた曲面の平均曲率流れにおいて、多重度1の球面が唯一の閉じた一般特異点か？
• RQ3 多重度 m > 1 の自己縮小型はエントロピー安定か？ これはその一般特異点性に何を意味するか？
• RQ4 与えられた mΣ 自己縮小型のエントロピーを厳密に下回るような、流れの摂動を構成可能か？
• RQ5 摂動後に高重複度の接頭型が存在しないことは、唯一の一般特異点が球面であることを示唆するか？

主な発見

• R³ 内の閉じた埋め込まれた曲面の平均曲率流れにおける唯一の閉じた一般特異点は、多重度1の球面である。
• 多重度 m > 1 の自己縮小型はエントロピー不安定であり、したがって一般特異点にはなり得ない。
• 接頭型が多重度 m > 1 である初期流れに対して、mΣ を接頭型としない摂動が存在する。
• 摂動は遅い時刻スライスで構成され、ハウスドルフ距離が ε₀√(T−t₀) 未満を保つ。同相性も維持される。
• 固定された球が内部に残っている限り、摂動された流れは有限時間で一点に収束できない。これにより、閉じた特異点が防がれる。
• 局所エントロピーを mΣ のエントロピー未満に低下させることで、摂動された流れは mΣ を最初の吹き上がり極限として持つことはできない。