[論文レビュー] Local Entropy Theory of a Random Dynamical System

A. H. Dooley, Guohua Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限可算離散アメーブル群上の連続バンドル確率力学系へ局所エントロピー理論を拡張し、局所ファイバー位相的圧力の導入と、測度論的エントロピーとを結ぶ変分原理の確立を試みる。主な貢献は、確率力学系におけるエントロピー・タプルと変分原理の厳密な枠組みを提供することであり、位相的力学系およびグローバルエントロピー理論の結果を一般化・拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we extend the notion of a continuous bundle random dynamical system to the setting where the action of $\R$ or $\N$ is replaced by the action of an infinite countable discrete amenable group. Given such a system, and a monotone sub-additive invariant family of random continuous functions, we introduce the concept of local fiber topological pressure and establish an associated variational principle, relating it to measure-theoretic entropy. We also discuss some variants of this variational principle. We introduce both topological and measure-theoretic entropy tuples for continuous bundle random dynamical systems, and apply our variational principles to obtain a relationship between these of entropy tuples. Finally, we give applications of these results to general topological dynamical systems, recovering and extending many recent results in local entropy theory.

研究の動機と目的

• 無限可算離散アメーブル群上の連続バンドル確率力学系のための局所エントロピー理論を構築すること。
• 確率力学系におけるファイバーごとの設定への位相的圧力の概念を一般化すること。
• 局所ファイバー位相的圧力と測度論的エントロピーを結ぶ変分原理を確立すること。
• 確率力学系の文脈においてエントロピー・タプルを定義・分析し、それらを位相的および測度論的不変量と関連付けること。
• 提案された枠組みを用いて、最近の位相的力学系における局所エントロピー理論の結果を回復・拡張すること。

提案手法

• 連続バンドル確率力学系の基底空間上における、単調な部分加法的不変関数族（確率的連続関数）を導入すること。
• アメーブル群作用に適したランダムな開被覆およびファクター・エクセレント／良い被覆を用いて、局所ファイバー位相的圧力を定義すること。
• 可換群のタイリング・フォルナー列を用いて変分原理を確立し、測度論的エントロピーの上限と局所位相的圧力を結びつけること。
• スケアープロダクト変換とファイバーごとの力学の枠組みを用いて、確率力学系と位相的力学系を関連付けること。
• 不変測度の台とファイバー積構造を用いて、連続バンドル確率力学系のエントロピー・タプルを定義・分析すること。
• 位相的力学系と特定の連続バンドル確率力学系との間の同値性を活用し、結果を転送すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換群上の確率力学系の文脈で、局所ファイバー位相的圧力はどのように定義され、特徴づけられるか？
• RQ2 この確率的設定において、局所ファイバー位相的圧力と測度論的エントロピーの関係は何か？
• RQ3 確率力学系におけるエントロピー・タプルは、位相的および測度論的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 タイリング・フォルナー列を有する系へ、局所圧力の変分原理を拡張できるか？
• RQ5 提案された確率力学系の枠組みを通じて、位相的力学系からの結果はどの程度回復され、一般化可能か？

主な発見

• 局所ファイバー位相的圧力のための変分原理が確立された：位相的圧力は、不変測度上の測度論的エントロピーの上限に等しい。
• 連続バンドル確率力学系のエントロピー・タプルが定義され、対応する条件付きエントロピーが正である場合に限り、非空であることが示された。
• エントロピー・タプルの集合は、不変測度の台の積に含まれるが、特定の条件下では等号が成り立つ。
• 位相的力学系間のファクター写像に対して、系のエントロピー・タプルは測度のプッシュフォワードを介してファイバーごとのエントロピー・タプルと関連づけられる。
• この枠組みにより、[51]および[38]の主要な結果が回復され、位相的力学系における局所変分原理が拡張された。
• エントロピー・タプルを実現する測度の存在が保証された：μ ∈ ℙ(Y₁,G) が存在し、Eₙ(Y₁,G|π) = Eₙ^(μ)(Y₁,G|π) = _{πμ}Eₙ^(r)(ℰ_π,G) が成り立つ。