[論文レビュー] Local Equivalence and Intrinsic Metrics between Reeb Graphs

Mathieu Carrière, Steve Oudot|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、擬距離であるバナジスト距離（dB）が、Reeb図形上では、より判別力の高い距離関数である機能的歪み距離（dFD）やインタリーブィング距離（dI）と局所的に同値であることを確立する。dBは、dFDと同様に、近接するReeb図形をいかなる場合でも正確に区別できることを証明し、内在的距離  ˆdB、ˆdFD、ˆdI を導入。これらがグローバルに同値であることを示した。この結果は、dBを補間タスクに用いることの妥当性を裏付け、Reeb図形の空間におけるより深い幾何的構造の解明を可能にする。

ABSTRACT

As graphical summaries for topological spaces and maps, Reeb graphs are common objects in the computer graphics or topological data analysis literature. Defining good metrics between these objects has become an important question for applications, where it matters to quantify the extent by which two given Reeb graphs differ. Recent contributions emphasize this aspect, proposing novel distances such as {\em functional distortion} or {\em interleaving} that are provably more discriminative than the so-called {\em bottleneck distance}, being true metrics whereas the latter is only a pseudo-metric. Their main drawback compared to the bottleneck distance is to be comparatively hard (if at all possible) to evaluate. Here we take the opposite view on the problem and show that the bottleneck distance is in fact good enough {\em locally}, in the sense that it is able to discriminate a Reeb graph from any other Reeb graph in a small enough neighborhood, as efficiently as the other metrics do. This suggests considering the {\em intrinsic metrics} induced by these distances, which turn out to be all {\em globally} equivalent. This novel viewpoint on the study of Reeb graphs has a potential impact on applications, where one may not only be interested in discriminating between data but also in interpolating between them.

研究の動機と目的

• バナジスト距離の局所的挙動を分析することで、Reeb図形比較における計算効率と判別力の間の葛藤を解消すること。
• dBがグローバルには擬距離にとどまるが、局所的にはdFD や dI といった強力な距離関数と同等に判別可能であることを示すこと。
• 補間やより良い幾何的理解を可能にするために、Reeb図形の空間における内在的距離の研究を提唱すること。
• dGH、dFD、dI、dB によって誘導される内在的距離がグローバルに同値であることを証明し、ˆdB が真の距離構造を有することを示すこと。
• モーフィングや形状マッチングといった、経路補間を要する応用分野におけるReeb図形の利用に向けた基盤を構築すること。

提案手法

• 局所的同値性の証明：任意のReeb図形 Rf と十分に小さな dFD-近傍内の任意の Rg に対して、K·dFD(Rf,Rg) ≤ dB(Rf,Rg) ≤ 2·dFD(Rf,Rg) が成り立ち、K=1/22 であることを示す。
• 内在的距離 ˆd を、関数的歪み位相における連続的経路の長さの下限として定義する。
• dFD における経路のコンパクト性と連続性を活用し、臨界値間隔に比例するように分割を精緻化し、局所的 dFD ステップを制御する。
• 局所的同値性を活用して、任意の経路の dFD における長さを dB における長さの定数倍で抑え、逆も同様に抑えられるようにする。
• 三角不等式と経路の精緻化を用いて、ˆdFD(Rf,Rg)/22 ≤ ˆdB(Rf,Rg) ≤ 2·ˆdFD(Rf,Rg) を示す。
• 簡略化作用素を用いて、Reeb図形が経路的に連結であり、ˆdFD と ˆdB が有限であることを示し、それらが真の距離関数として使用可能であることを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dBが擬距離であるにもかかわらず、dFD などの強力な距離関数と同等の効率で、局所的にReeb図形を判別できるか？
• RQ2 dGH、dFD、dI、dB によって誘導される内在的距離は、Reeb図形の空間上でグローバルに同値か？
• RQ3 内在的距離 ˆdB は、Reeb図形上で真の距離構造を提供するか。これにより補間や曲率解析が可能になるか？
• RQ4 dB と dFD の局所的同値性は、一般の距離空間へと拡張可能か。特に、恒常的理論における逆問題において有効か？
• RQ5 Reeb図形の空間には最短経路が存在するか。適切な制約下で、空間は完備かつ局所コンパクトか？

主な発見

• バナジスト距離 dB は dFD と局所的に同値である：任意の Reeb 図形 Rf と十分に小さな dFD-近傍内の任意の Rg に対して、K·dFD(Rf,Rg) ≤ dB(Rf,Rg) ≤ 2·dFD(Rf,Rg) が成り立ち、K=1/22 である。
• 内在的距離 ˆdB は真の距離である。これは ˆdFD とグローバルに同値であるため、異なる Reeb 図形を明確に分離可能である。
• 内在的距離 ˆdFD、ˆdI、ˆdGH、ˆdB はグローバルに同値であり、Reeb 図形上に同じ位相を誘導する。
• ˆdB と ˆdFD のグローバル同値性は、経路長の比較によって確立された：ˆdFD(Rf,Rg)/22 ≤ ˆdB(Rf,Rg) ≤ 2·ˆdFD(Rf,Rg)。
• Reeb 図形の空間は dFD に関して経路的に連結であり、Reeb 図形の複雑さが有限であるため、内在的距離は有限である。
• 簡略化作用素により、自明な図形への連続的変形が可能であり、これにより内在的距離の有限性と経路的連結性が裏付けられる。