[論文レビュー] Local Euler-Maclaurin formula for polytopes

Nicole Berline, Michèle Vergne|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2005

Pharmacological Effects of Medicinal Plants参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有理凸多面体に対して局所的かつ計算可能なオイラー＝マクローリン公式を提示する。整数点上の離散和を、各面における多項式関数に作用する微分作用素の和として表現する。主な貢献は、各面における横断的錐にのみ依存する有理数係数の微分作用素 $ D(\frak{p}, \frak{f}) $ の構成であり、固定次元においてEhrhart準多項式および離散和を多項式時間アルゴリズムで効率的に計算可能にする。

ABSTRACT

We give a local Euler-Maclaurin formula for rational convex polytopes in a rational euclidean space . For every affine rational polyhedral cone C in a rational euclidean space W, we construct a differential operator of infinite order D(C) on W with constant rational coefficients, which is unchanged when C is translated by an integral vector. Then for every convex rational polytope P in a rational euclidean space V and every polynomial function f (x) on V, the sum of the values of f(x) at the integral points of P is equal to the sum, for all faces F of P, of the integral over F of the function D(N(F)).f, where we denote by N(F) the normal cone to P along F.

研究の動機と目的

• 有理凸多面体のための局所的かつ計算可能なオイラー＝マクローリン公式を構成し、そのような作用素の存在に関する長年の予想を解決すること。
• 多項式関数 $ h $ に対して、$ \text{Card}(\frak{p} \bigcap \bbZ^d) $ および $ \text{sum}_{x \bigcap \frak{p} \bigcap \bbZ^d} h(x) $ を計算する方法を提供すること。次元と次数が固定されたとき、入力サイズに対して多項式時間で実行可能であること。
• Barvinokの多面体内の整数点の数を数える多項式時間アルゴリズムを、局所的で有理数係数の微分作用素を用いたラティス点上の重み付き和のケースに拡張すること。
• 局所的オイラー＝マクローリンフレームワークに基づき、等長的リーマン＝ローチ定理を用いて、トーリック多様体のTodd類の標準的で局所的な公式を確立すること。
• 局所的公式の構成的・アルゴリズム的実装を提供し、小次元におけるEhrhart準多項式および離散和の実用的計算を可能にすること。

提案手法

• 各有理アフィン錐 $ \frak{a} $ に対して、$ \frak{a} $ 内のラティス点における指数和を用いて生成関数 $ \nu(\frak{a})(\theta) $ を定義し、ラティスシフトで正規化する。
• スカラー積を $ \bbR^d $ 上で用い、$ \frak{t}(\frak{p}, \frak{f}) $（$ \frak{p} $ の面 $ \frak{f} $ 沿いの横断的錐）を用いて関数 $ \nu(\frak{t}(\frak{p}, \frak{f})) $ を通じて微分作用素 $ D(\frak{p}, \frak{f}) $ の記号を構成する。
• 関数 $ \nu(\frak{a}) $ が $ \nu(\frak{a}_1 \bigcup \frak{a}_2) = \nu(\frak{a}_1) + \nu(\frak{a}_2) - \nu(\frak{a}_1 \bigcap \frak{a}_2) $ を満たすという値関数の性質を用い、錐の分解において一貫性を保証する。
• 指数型生成関数と低次元の面への積分を用いた再帰的公式により、$ D(\frak{p}, \frak{f}) $ を定義し、局所性と有理数係数を保証する。
• Barvinokの符号付き錐のユニモジュラー錐への分解を用いてアルゴリズムを実装し、次元と次数が固定されたとき、$ \text{sum}_{x \bigcap \frak{p} \bigcap \bbZ^d} h(x) $ の計算を多項式時間で行えるようにする。
• 各面からの寄与を合算することでEhrhart準多項式を計算し、周期的係数をモジュラー関数 $ \text{mod}(at, m) $ を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理多面体に対して、各面における横断的錐にのみ依存する局所的かつ計算可能なオイラー＝マクローリン公式を構成できるか？
• RQ2 局所性と計算可能性を満たす有理数係数の微分作用素 $ D(\frak{p}, \frak{f}) $ が存在するか。すなわち、$ \text{sum}_{x \bigcap \frak{p} \bigcap \bbZ^d} h(x) = \text{sum}_{\frak{f} \bigcap \frak{F}(\frak{p})} \text{int}_{\frak{f}} D(\frak{p}, \frak{f}) \bullet h $ が成り立つか。
• RQ3 局所的微分作用素に基づく面ごとの分解を用いて、有理多面体のEhrhart準多項式を効率的に計算できるか？
• RQ4 これらの作用素を用いた局所的かつアルゴリズム的なTodd類の構成により、トーリック多様体の等長的リーマン＝ローチ定理を実現できるか？
• RQ5 多項式 $ h $ に対して $ \text{sum}_{x \bigcap \frak{p} \bigcap \bbZ^d} h(x) $ を計算する計算量は何か。次元と次数が固定されたとき、多項式時間で達成可能か？

主な発見

• 本稿は、有理数係数をもつ微分作用素 $ D(\frak{p}, \frak{f}) $ を構成し、オイラー＝マクローリン公式 (1) を満たし、局所的かつ計算可能であることを示し、[3]における予想を解決した。
• 作用素 $ D(\frak{p}, \frak{f}) $ は、ラティス平行移動を除いて、横断的錐 $ \frak{t}(\frak{p}, \frak{f}) $ のみに依存し、局所性とラティスを保つ等長変換に関して不変である。
• 定数関数 $ h(x) = 1 $ の場合、公式は $ \text{Card}(\frak{p} \bigcap \bbZ^d) = \text{sum}_{\frak{f}} \nu_0(\frak{p}, \frak{f}) \text{vol}(\frak{f}) $ に簡略化され、有理数係数 $ \nu_0(\frak{p}, \frak{f}) $ を持つ。これはDanilov, Morelli, McMullenの結果を確認する。
• 本手法により、各面からの寄与を合算することで有理多面体のEhrhart準多項式を計算可能となり、係数はモジュラー関数 $ \text{mod}(at, m) $ を用いて表現される。例36で示されている。
• 次元 $ d $ と関数 $ h $ の次数が固定されたとき、和 $ \text{sum}_{x \bigcap \frak{p} \bigcap \bbZ^d} h(x) $ は多項式時間で計算可能であり、Barvinokの結果を拡張する。
• 本手法は、$ N=11^5 $ の拡大三角形上で $ x_1^{48}x_2^{48} $ の和を計算するのにも成功し、約1時間で300桁の数値を得た。これは小次元において既存のソフトウェアを上回った。