[論文レビュー] Local exact controllability for the 2 and 3-d compressible Navier-Stokes equations

Sylvain Ervedoza, Olivier Glass+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、境界制御を用いて、2次元および3次元の圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の定常密度-速度状態への局所的正確な可動性を確立する。線形化された随伴系の可観測性を負のソボレフ空間におけるカルレマン推定式を用いて分析し、滑らかな軌道を構築することで、初期摂動が十分に小さい場合、平均速度の方向における領域を横断する特徴的時間より長い時間区間内であれば、目標状態に戻せることを証明する。

ABSTRACT

The goal of this article is to present a local exact controllability result for the 2 and 3-dimensional compressible Navier-Stokes equations on a constant target trajectory when the controls act on the whole boundary. Our study is then based on the observability of the adjoint system of some linearized version of the system, which is analyzed thanks to a subsystem for which the coupling terms are somewhat weaker. In this step, we strongly use Carleman estimates in negative Sobolev spaces.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元の圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の定常軌道への局所的正確な可動性を確立すること。
• 非ゼロの速度を持つ目標状態における可動性の課題に取り組むこと。これは輸送効果を引き起こし、制御の時間区間を制限する。
• 線形化された方程式の随伴系の可観測性に基づくフレームワークを構築すること。カルレマン推定式を負のソボレフ空間に応用する。
• 流れの正則性と存在を保証するため、制御された軌道が $L^2(0,T;H^3(Ω)) \cap C^0([0,T];H^2(Ω))$ に属することを保証すること。
• 1次元の既存結果を非ゼロの平均速度を持つ多次元設定に拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、$\overline{u} \neq 0$ を満たす定常状態 $(\overline{\rho}, \overline{u})$ のまわりで、圧縮性ナビエ＝ストークス系を線形化する。
• 負のソボレフ空間におけるカルレマン推定式を用いて、線形化された方程式の随伴系の可観測性を分析し、可観測性不等式を導出する。
• カルレマン推定式における重み関数を速度 $\overline{u}$ に従って移動させる手法を用いる。これは、結合された放物型・双曲型系に関する先行研究の技術を応用したものである。
• 重要なステップとして、流れ写像 $Z_{\check{u}}(t,x)$ を用いた変数変換により、方程式を輸送効果と拡散効果が解析的に分離された形に変換する。
• 非線形性を補うために、非線形補正項 $f_{\rho}(\rho,u)$ と $f_u(\rho,u)$ を定義し、固定点法の適用を可能にする。
• 双対性と負のソボレフ空間における可観測性推定式を用いて、速度場が $L^2(0,T;H^3(\Omega))$ に属することを保証する。これにより、流れが正しく定義され、連続であるために必要な正則性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界制御を用いて、非ゼロの速度を持つ定常状態への2次元および3次元の圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を局所的に正確に制御可能か？
• RQ2 このような可動性に要する最小時間は何か？ また、背景流れの輸送速度とどのように関係するか？
• RQ3 負のソボレフ空間における可観測性推定式は、結合された放物型・双曲型ダイナミクスを持つ系を制御するためにどのように利用できるか？
• RQ4 領域の幾何構造と平均速度の方向が、可動性時間条件に果たす役割は何か？
• RQ5 $L^2(0,T;H^3(\Omega))$ 内で滑らかな軌道をどのように構築すれば、流れ写像の存在と正則性を保証できるか？

主な発見

• 2次元および3次元の圧縮性ナビエ＝ストークス方程式は、時間区間 $T$ が $L_0 / |\overline{u}|$ より大きい場合、非ゼロの速度 $\overline{u}$ を持つ定常状態 $(\overline{\rho}, \overline{u})$ へ局所的に正確に制御可能である。ここで $L_0$ は $\overline{u}$ の方向における領域の厚さを表す。
• 初期データ $(\rho_0, u_0)$ が $H^2(\Omega) \times H^2(\Omega)$ に属し、十分に小さいノルム $\delta > 0$ を持つ場合に、この結果は成り立つ。
• 制御された解 $(\rho_{\mathcal{S}}, u_{\mathcal{S}})$ は $C([0,T];H^2(\Omega)) \times (L^2(0,T;H^3(\Omega)) \cap C^0([0,T];H^2(\Omega)))$ に属し、流れが正しく定義されるために十分な正則性を保証する。
• 証明は、速度 $\overline{u}$ に従って移動する重み関数を用いたカルレマン推定式に依存しており、線形化された方程式の随伴系に適用され、可観測性不等式が導出される。
• 非線形項 $f_{\rho}$ と $f_u$ は、流れ写像による変数変換を反映するように明示的に構築されており、制御フレームワーク内での固定点法の適用を可能にする。
• 本手法は、1次元の既存結果を多次元に拡張し、情報伝播の有限速度を考慮した時間区間の確保によって、輸送制限を克服した。