[論文レビュー] Local Exact Controllability of a Parabolic System of Chemotaxis

Bao‐Zhu Guo, Liang Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2013

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、部分領域に作用する単一の制御力によって、放物型キモタクシス系の軌道への局所的厳密な可制御性を確立する。Kakutaniの不動点定理を線形化された系のゼロ可制御性と組み合わせ、最大正則性および$L^p$-$L^q$推定を用いることで、初期データが小さい条件下で、終時刻における解をゼロに導く$L^∞(Q)$に属する制御の存在を証明する。

ABSTRACT

This paper studies the controllability problem of a parabolic system of chemotaxis. The local exact controllability to trajectories of the system imposed one control force only is obtained by applying Kakutani's fixed point theorem combined with the null controllability of the associated linearized parabolic system. The control function is shown to be in $L^\infty(Q)$, which is estimated by using the methods of maximal regularity and $L^p$-$L^q$ estimates of parabolic equations.

研究の動機と目的

• 部分領域に作用する単一の制御力による放物型キモタクシス系の局所的厳密可制御性を確立すること。
• 細胞凝集をキモタクシスでモデル化する非線形で結合された放物型偏微分方程式系を制御する課題に取り組むこと。
• 初期データが小さい場合に、$L^∞(Q)$に属する制御が終時刻において系をゼロに導くことを証明すること。
• 非線形的かつ非局所的な結合を有するキモタクシスモデルおよびノイマン境界条件への可制御性結果の拡張を行うこと。

提案手法

• 線形化された系の解写像から構成される非線形作用素にKakutaniの不動点定理を適用すること。
• Carleman不等式および最大正則性推定を用いて、線形化された系のゼロ可制御性を確立すること。
• 放物型方程式の$L^p$-$L^q$推定を用いて、$L^∞(Q)$における制御関数のバインドを実行すること。
• Sobolev埋め込みおよび正則性理論を用いて、解およびその勾配が有界に保たれることを保証すること。
• $L^∞(Q)$内に閉かつ凸かつコンパクトな集合$K$を構成し、Kakutaniの定理の条件を満たすようにすること。
• 解作用素の上半連続性および$K$への不変性を証明することで、不動点の存在を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分領域に作用する単一の制御力が、放物型キモタクシス系の局所的厳密可制御性を達成できるか？
• RQ2 初期データにどのような条件を課すと、終時刻において系をゼロに導く$L^∞(Q)$に属する制御が存在するか？
• RQ3 細胞密度と化学濃度の間の非線形的結合を、可制御性枠組み内でどのように取り扱えるか？
• RQ4 $L^p$-$L^q$推定および最大正則性が、制御関数のバインディングに果たす役割は何か？
• RQ5 制御されたキモタクシス系の解作用素は、適切な集合上で上半連続的かつ不変的か？

主な発見

• 初期データが$\|u_0\|_{\infty} + \|v_0\|_{W^{2(1-1/p),p}(\Omega)} \leq \delta$を満たすような十分小さい$\delta > 0$に対して、キモタクシス系の軌道への局所的厳密可制御性が達成される。
• 制御関数$f$は$L^\infty(Q)$に属し、そのノルムは$L^p$-$L^q$推定および最大正則性技術を用いて推定される。
• 線形化された系の解$y$は、$\|y\|_{\infty} \leq e^{c_1 \kappa_0}(\|y_0\|_{\infty} + \|z_0\|_{W^{2(1-1/p),p}(\Omega)})$を満たし、小さな初期データのもとで有界性が保証される。
• 解作用素は上半連続的であり、凸かつコンパクトな集合$K$を自身に写すため、Kakutaniの不動点定理の条件を満たす。
• 不動点の存在は、状態$(u,v)$が時刻$T$において$\Omega$上でほとんど everywhere でゼロに達するような制御$f$の存在を示唆する。
• 証明は、$V^1(Q)$および$V^2(Q)$における近似列の収束に依存しており、$L^2(Q)$で強い収束および高階空間で弱い収束が得られる。