[論文レビュー] Local existence and uniqueness of strong solutions to the Navier-Stokes equations with nonnegative density

Jinkai Li|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非負の初期密度（真空中を含む）を持つ3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、従来の研究と比較してより弱い正則性仮定の下で、強い解の局所的存在および一意性を確立する。相性条件の必要性を排除し、初期速度の正則性を $ H^2 $ から $ H^1 $ に低く抑えつつ、初期時における運動量の連続性に依拠する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the initial-boundary value problem to the nonhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations. Local strong solutions are established, for any initial data $(ρ_0, u_0)\in (W^{1,γ} \cap L^\infty) imes H_{0,σ}^1$, with $γ>1$, and if $γ\geq2$, then the strong solution is unique. The initial density is allowed to be nonnegative, and in particular, the initial vacuum is allowed. The assumption on the initial data is weaker than the previous widely used one that $(ρ_0, u_0)\in (H^1 \cap L^\infty ) imes(H_{0,σ}^1 \cap H^2)$, and no compatibility condition is required.

研究の動機と目的

• 初期密度がゼロ（真空中を含む）である非均一非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する局所的強い解の確立。
• 標準的な初期データに関する仮定を弱める、特に相性条件の必要性を排除すること。
• 初期速度の正則性を $ H^2 \cap H^1_0 $ から $ H^1_0 $ に低下させつつ、一意性を維持すること。
• 初期時における速度 $ u $ 自体の連続性ではなく、運動量 $ \rho u $ の連続性が十分であることを示すこと。

提案手法

• 正則化された初期データを用いたガラーキン近似スキームを用いて、近似解 $ (\rho_n, u_n) $ を構築する。
• エネルギー推定と $ L^p $ 型不等式を用いて、$ \rho u $、$ \nabla u $、および $ \rho $ の時間発展を制御する。
• Gronwall型不等式を用いて2つの解の差を制御し、一意性を証明する。
• 初期時における速度 $ u $ が真空中で不連続である可能性があるため、初期条件として $ u $ ではなく運動量 $ \rho u $ の連続性を採用する。
• 非線形項をエネルギー方程式および密度方程式において制御するため、Sobolev、Poincaré、およびHölder不等式を用いる。
• 近似列に関する極限議論により、$ \rho u $ の $ L^2 $ 連続性を示し、初期条件が運動量の意味で成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期真空を許容する非均一ナビエ＝ストークス方程式に対して、より弱い正則性仮定の下で強い解が存在しうるか？
• RQ2 一意性を保ったまま、従来の研究で必要とされた相性条件 $ \Delta u_0 - \nabla p_0 = \sqrt{\rho_0} g $ を完全に排除することは可能か？
• RQ3 初期速度の正則性を $ H^2 \cap H^1_0 $ から $ H^1_0 $ に低下させても、一意性を失わず維持できるか？
• RQ4 速度 $ u $ が真空中で不連続である場合、初期時における運動量 $ \rho u $ の連続性が初期条件として十分であるか？
• RQ5 相性条件なしで、$ \gamma \geq 2 $ かつ $ (\rho_0, u_0) \in (W^{1,\gamma} \cap L^\infty) \times H^1_{0,\sigma} $ の下で一意性を証明できるか？

主な発見

• 初期データ $ (\rho_0, u_0) \in (W^{1,\gamma} \cap L^\infty) \times H^1_{0,\sigma} $ に対して、$ \gamma > 1 $ の下で、初期真空を許容する局所的強い解が存在する。
• 同じ初期データ正則性のもとで、$ \gamma \geq 2 $ の場合に一意性が確立される。
• 従来の研究で必要とされた相性条件は完全に排除された。
• 初期条件は $ u $ ではなく運動量 $ \rho u $ に課され、近似列の極限による議論により、$ t=0 $ における $ \rho u $ の連続性が証明された。
• 初期速度の正則性は $ H^2 \cap H^1_0 $ から $ H^1_0 $ に低下されたが、一意性は維持された。
• 解は $ \rho u \in C([0,T]; L^2) $ を満たし、$ \sqrt{t} u, \sqrt{t} \partial_t u \in L^\infty(0,T; H^2) \cap L^2(0,T; H^1) $ を満たす。これは $ t=0 $ 近傍での時間正則性の向上を示している。