[論文レビュー] Local existence and WKB approximation of solutions to Schrödinger-Poisson system in the two-dimensional whole space

Satoshi Masaki|ArXiv.org|Dec 8, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、中性条件を要しない2次元シュレーディンガー＝ポアソン系の局所的解の存在とWKB近似を、対数的増大を示すポアソンポテンシャルを取り扱うために修正されたマデルング変換を用いて確立する。主な貢献は、$ s>2 $ の $ H^s(\mathbf{R}^2) $ 初期データに対して、半古典的極限におけるWKB漸近展開の厳密な正当化である。これは、ポテンシャルの空間的増大が遅いにもかかわらず成立する。

ABSTRACT

We consider the Schrödinger-Poisson system in the two-dimensional whole space. A new formula of solutions to the Poisson equation is used. Although the potential term solving the Poisson equation may grow at the spatial infinity, we show the unique existence of a time-local solution for data in the Sobolev spaces by an analysis of a quantum hydrodynamical system via a modified Madelung transform. This method has been used to justify the WKB approximation of solutions to several classes of nonlinear Schrödinger equation in the semiclassical limit.

研究の動機と目的

• 中性条件 $ \int (|u|^2 - b) dx = 0 $ が成立しない場合、特に背景密度 $ b \equiv 0 $ の場合における2次元シュレーディンガー＝ポアソン系の適切な定式化の欠如に取り組む。
• ポテンシャルが無限遠で対数的に増大する2次元半古典的シュレーディンガー＝ポアソン系に対して、WKB近似を正当化する。
• 非可積分的増大を示すポテンシャル項の困難を、マデルング変換を用いた修正された量子流体力学的定式化により克服する。
• ポテンシャル $ P $ が $ |x|\to\infty $ で $ |P(x)| = O(\log|x|) $ を満たす場合でも、$ H^s(\mathbf{R}^2) $ における時間局所的解の存在を確立する。

提案手法

• 2次元 $ \mathbf{R}^2 $ におけるポアソン方程式の解のための新規な公式を用いる：$ P(x) = -\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbf{R}^2} \log\left(\frac{|x-y|}{|y|}\right) |u(y)|^2 dy $、これは中性条件の必要性を回避する。
• シュレーディンガー＝ポアソン系を量子流体力学系に書き換えるために、修正されたマデルング変換を適用し、対数的ポテンシャル増大の制御を可能にする。
• 重み付き $ L^p $ 評価とリース変換の評価を用いた、対数的増大に適合した関数空間における不動点法を採用する。
• ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの不等式とガガリャルド＝ニレングベルクの補間を用いて、ポテンシャルおよびその微分の漸近的挙動を分析する。
• 半古典的極限 $ \varepsilon \to 0 $ における適切な位相で、WKBアンザッツ $ u^\varepsilon(t,x) = e^{i\phi^\varepsilon(t,x)/\varepsilon}(a_0 + \varepsilon a_1 + \cdots + \varepsilon^N a_N + o(\varepsilon^N)) $ の正当化を行う。
• 調和関数論を用いて、$ \nabla P \in L^\infty $、$ \nabla P \to 0 $（$ |x|\to\infty $）および $ P(0)=0 $ の条件下で、ポアソン方程式の解の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中性条件 $ \int (|u|^2 - b) dx = 0 $ が成立しない場合、特に背景密度 $ b \equiv 0 $ の場合に、2次元シュレーディンガー＝ポアソン系は適切に定式化可能だろうか？
• RQ2 無限遠で対数的に増大するポテンシャルを有する2次元半古典的シュレーディンガー＝ポアソン系に対して、WKB近似をどのように正当化できるか？
• RQ3 無限遠での可積分性を要しないSobolev空間における局所的解の存在を保証するための、$ \mathbf{R}^2 $ におけるポアソンポテンシャルの正しい定式化は何か？
• RQ4 非線形シュレーディンガー方程式の文脈において、対数的増大を示す非線形ポテンシャル項を制御するために、修正されたマデルング変換を用いることは可能だろうか？
• RQ5 条件 $ \nabla P \in L^\infty $、$ \nabla P \to 0 $、$ P(0)=0 $ を満たすとき、$ -\Delta P = |u|^2 $ の解 $ P $ の正則性および減衰性はどのようなものか？

主な発見

• 2次元 $ \mathbf{R}^2 $ におけるポアソン方程式 $ -\Delta P = |u|^2 $ の解は、中性条件を要せず、$ |u|^2 \in L^{p_0}(\mathbf{R}^2) $（$ p_0 \in (1,2) $）の下で、$ P(x) = -\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbf{R}^2} \log\left(\frac{|x-y|}{|y|}\right) |u(y)|^2 dy $ で一意に与えられる。
• ポテンシャル $ P $ は $ |x| \to \infty $ で $ |P(x)| = O(\|u\|_{L^2}^2 \log|x|) $ を満たし、$ \nabla P \in L^\infty(\mathbf{R}^2) $ であるが、非自明な $ u $ に対しては $ \nabla P \notin L^2(\mathbf{R}^2) $ である。
• $ s > 2 $ の初期データ $ u_0 \in H^s(\mathbf{R}^2) $ に対して、シュレーディンガー＝ポアソン系は $ C((-T,T); H^s(\mathbf{R}^2)) $ 内に唯一の局所解を持つ。これはポテンシャルの対数的増大にもかかわらず成立する。
• 半古典的極限 $ \varepsilon \to 0 $ において、適切な位相でWKB近似 $ u^\varepsilon(t,x) = e^{i\phi^\varepsilon(t,x)/\varepsilon}(a_0 + \varepsilon a_1 + \cdots + \varepsilon^N a_N + o(\varepsilon^N)) $ が有効であり、半古典的極限の正当化がなされる。
• 解 $ P $ は $ C^2(\mathbf{R}^2) $ であり、すべての $ p \in [p_0, \infty) $ に対して $ \partial_j \partial_k P \in L^p(\mathbf{R}^2) $ を満たし、$ r \in [q_0, \infty) $ に対して $ \nabla P \in L^r(\mathbf{R}^2) $ である。Hölderおよびガガリャルド＝ニレングベルクの不等式により、$ \nabla P \in L^\infty(\mathbf{R}^2) $ である。
• 調和関数論を用いて、$ \nabla P \in L^\infty $、$ \nabla P \to 0 $（無限遠で）、$ P(0)=0 $ の条件下で、ポアソン方程式の解の一意性が確立される。これは、無限遠で消える有界な調和関数が恒等的にゼロであるという事実に基づく。