[論文レビュー] Local existence for the free boundary problem for the non-relativistic and relativistic compressible Euler equations with a vacuum boundary condition

Yuri Trakhinin|ArXiv.org|Oct 15, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非相対論的および相対論的圧縮流体の自由界面問題に対して、真空境界条件のもとで、Alinhacの「よい未知数」を用いた固定領域還元と修正されたNash-Moser反復スキームを用いて、局所時間内に滑らかな解の存在を確立する。主な貢献は、適切な双曲型性および境界条件のもとで、Lindbladの等エントロピー結果を全気体力学および相対論的設定へと拡張したことである。

ABSTRACT

We study the free boundary problem for the equations of compressible Euler equations with a vacuum boundary condition. Our main goal is to recover in Eulerian coordinates the earlier well-posedness result obtained by Lindblad [Lindblad H., Commun. Math. Phys. 260 (2005), 319-392] for the isentropic Euler equations and extend it to the case of full gas dynamics. For technical simplicity we consider the case of an unbounded domain whose boundary has the form of a graph and make short comments about the case of a bounded domain. We prove the local-in-time existence in Sobolev spaces by the technique applied earlier to weakly stable shock waves and characteristic discontinuities. It contains, in particular, the reduction to a fixed domain, using the "good unknown" of Alinhac, and a suitable Nash-Moser-type iteration scheme. A certain modification of such an approach is caused by the fact that the symbol associated to the free surface is not elliptic. This approach is still directly applicable to the relativistic version of our problem in the setting of special relativity and we briefly discuss its extension to general relativity.

研究の動機と目的

• 真空境界を伴う等エントロピーEuler方程式のLindbladの適切性結果を、全気体力学へと拡張すること。
• 非相対論的圧縮Euler方程式の自由界面および真空条件を満たす滑らかな解の、Sobolev空間における局所時間内での存在を確立すること。
• 自由界面の非楕円的記号を扱うために、Alinhacの「よい未知数」とNash-Moser反復を適応すること。
• 特殊相対性理論における相対論的設定へと存在結果を拡張し、一般相対性理論への拡張を概説すること。
• 一般相対性理論における調和自然座標の使用を正当化し、流体-真空界面で計量変数が連続であることを保証すること。

提案手法

• 自由界面問題を、自由表面をまっすぐにする微分同相写像を用いて、動的境界を静的境界へと変換することで、固定領域へ還元する。
• 自由界面に起因する非線形項における微分の損失を処理するために、Alinhacの「よい未知数」技法を適用する。
• 微分の損失を克服するため、最大散乱境界条件を備えた線形化問題を用いたNash-Moser型反復スキームを実装する。
• 境界条件 $ p = 0 $ および $ rac{ abla F abla p}{| abla F|} eq 0 $ が反復過程全体で保存されることを保証する。
• 相対論的ケースでは、流体領域と真空領域を別々の領域として扱い、$ U $ および $ W $ に対して対称双曲型系を定義し、$ [W] = 0 $ を用いて界面で計量変数の連続性を強制する。
• 各反復ステップで計量方程式に対して固定点法を用い、前ステップの流体状態 $ U_n $ および境界 $ ho_n $ を用いて $ W^+ $ と $ W^- $ を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等エントロピーEuler方程式の真空境界を伴う局所時間内解の存在結果を、全気体力学へと拡張することは可能か？
• RQ2 自由界面に関連する記号が楕円的でない場合、Nash-Moser反復スキームはどのように適応可能か？
• RQ3 特殊相対性理論における相対論的Euler方程式へと存在結果を拡張するには、どのような修正が必要か？
• RQ4 一般相対性理論において、調和自然座標を用いた場合、流体と真空の界面条件はどのように一貫的に扱えるか？
• RQ5 「よい未知数」技法は、境界条件 $ p = 0 $ および双曲型性条件 $ p_ ho > 0 $ と両立可能か？

主な発見

• 本稿は、Sobolev空間において、非相対論的圧縮Euler方程式の真空境界条件を満たす滑らかな解の局所時間内での存在を証明する。
• 「よい未知数」と修正されたNash-Moserスキームを用いることで、Lindbladの等エントロピー存在定理を全気体力学へと拡張した。
• この手法は、特殊相対性理論の枠組みにおいて、相対論的問題へも直接適用可能である。
• 一般相対性理論では、計量変数の境界での連続性を保証する流体-真空界面問題に問題を再定式化し、Einsteinのジャンプ条件と整合的である。
• 境界条件 $ rac{ abla F abla p}{| abla F|} eq 0 $ は適切性に不可欠であり、反復スキームの下で保存される。
• 一般相対性理論における自然座標の初期データに関する制約は、各反復ステップで必要とされず、収束の議論が簡素化される。