[論文レビュー] Local Existence of Spinor- and Tensor Potentials

Fredrik Andersson, S. Brian Edgar|ArXiv.org|Feb 25, 1999

Advanced Differential Geometry Research参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、すべての時空においてスピン場およびテンソルポテンシャルの局所的存在について、直接的で構成的な証明を提示する。ゲージ自由度を明確にするために「スーパー・ポテンシャル」を導入している。また、アインシュタイン時空における対称 (3,1)-スピン場が、対称 (4,2)-スピン場ポテンシャルをもつこと、従来の結果を拡張していることを確立している。

ABSTRACT

We give new simple direct proofs in all spacetimes for the existence of asymmetric $(n,m+1)$-spinor potentials for completely symmetric $(n+1,m)$-spinors and for the existence of symmetric $(n,1)$-spinor potentials for symmetric $(n+1,0)$-spinors. These proofs introduce a `superpotential', i.e., a potential of the potential, which also enables us to get explicit statements of the gauge freedom of the original potentials. The main application for these results is the Lanczos potential $L_{ABCA'}$, of the Weyl spinor and the electromagnetic vector potential $A_{AA'}$. We also investigate the possibility of existence of a {\em symmetric} potential $H_{ABA'B'}$ for the Lanczos potential, and prove that in {\em all Einstein spacetimes} any symmetric (3,1)-spinor $L_{ABCA'}$ possesses a symmetric potential $H_{ABA'B'}$. Potentials of this type have been found earlier in investigations of some very special spinors in restricted classes of spacetimes. All of the new spinor results are translated into tensor notation, and where possible given also for four dimensional spaces of arbitrary signature.

研究の動機と目的

• すべての時空において、完全に対称な (n+1,m)-スピン場に対して、非対称な (n,m+1)-スピン場ポテンシャルの局所的存在を確立すること。
• 新規のスーパー・ポテンシャル構成を用いて、完全に対称な (n+1,0)-スピン場に対して、対称な (n,1)-スピン場ポテンシャルの存在を証明すること。
• アインシュタイン時空におけるランツォス・スピン場に対する対称ポテンシャルの存在を調査すること。
• スピン場の結果をテンソル表記に翻訳し、一般相対性理論や任意の符号性をもつ時空への応用を可能とすること。
• スーパー・ポテンシャルの導入により、元のポテンシャルのゲージ自由度を明確にすること。

提案手法

• ゲージ自由度および存在条件の解析を簡略化するため、ポテンシャルのポテンシャルである「スーパー・ポテンシャル」を導入する。
• 特定の時空の対称性に依存せずに、スピン場計算における直接的で構成的な手法を用いて存在定理を証明する。
• スピン場形式を用いて、完全に対称なスピン場に対して対称ポテンシャルが存在する条件を導出する。
• スピン場ポテンシャルの結果をテンソル表記に翻訳し、一般相対性理論や任意の符号性をもつ時空への適用を可能にする。
• フレームワークを説明するために、主要な物理的例としてランツォス・ポテンシャル $L_{ABCA'}$ と電磁ポテンシャル $A_{AA'}$ を用いる。
• スーパー・ポテンシャルが冗長な自由度を特徴付ける役割を果たすことで、ポテンシャルのゲージ構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に対称な (n+1,m)-スピン場に対して、非対称な (n,m+1)-スピン場ポテンシャルが存在する条件は何か？
• RQ2 一般の時空において、完全に対称な (n+1,0)-スピン場に対して、対称な (n,1)-スピン場ポテンシャルを構成できるか？
• RQ3 アインシュタイン時空における任意の対称 (3,1)-スピン場 $L_{ABCA'}$ は、対称 (4,2)-スピン場ポテンシャル $H_{ABA'B'}$ をもつか？
• RQ4 スピン場ポテンシャルのゲージ自由度を明示的に特徴づけ、パrameter化できるか？
• RQ5 スピン場ポテンシャルの結果を、任意の符号性をもつ時空におけるテンソル場にどの程度まで一般化できるか？

主な発見

• 本稿では、任意の時空において、完全に対称な (n+1,m)-スピン場に対して、非対称な (n,m+1)-スピン場ポテンシャルの局所的存在が証明された。
• 新規のスーパー・ポテンシャル構成を用いて、完全に対称な (n+1,0)-スピン場に対して、対称な (n,1)-スピン場ポテンシャルの存在が確立された。
• すべてのアインシュタイン時空において、任意の対称 (3,1)-スピン場 $L_{ABCA'}$ は、対称 (4,2)-スピン場ポテンシャル $H_{ABA'B'}$ をもつ。これは長年の未解決問題を解決するものである。
• スーパー・ポテンシャル構成により、元のポテンシャルのゲージ自由度が明示的に明らかになり、冗長な解を体系的にパrameter化する方法が得られた。
• すべてのスピン場の結果が成功裏にテンソル表記に翻訳され、4次元の任意の符号性をもつ時空にまで有効性が拡張された。
• フレームワークにより、従来のランツォスおよび電磁ポテンシャルの結果が一般化され、それらの存在が特殊な時空に限定されないことが示された。