[論文レビュー] Local Exponential Methods: a domain decomposition approach to exponential time integration of PDEs

Luca Bonaventura|arXiv (Cornell University)|May 9, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所的で並列化可能な計算に、グローバルな行列指数関数を置き換えるドメイン分割手法として、局所指数法（LEM）を提案する。空間的減衰性—Iserlesの理論的境界によって裏付けられる—を活用することで、計算コストを低減し、小さな局所的指数行列の保存を可能にし、高コウラント数でも標準的手法と同等の精度を達成するとともに、スケーラビリティを向上させる。

ABSTRACT

A local approach to the time integration of PDEs by exponential methods is proposed, motivated by theoretical estimates by A.Iserles on the decay of off-diagonal terms in the exponentials of sparse matrices. An overlapping domain decomposition technique is outlined, that allows to replace the computation of a global exponential matrix by a number of independent and easily parallelizable local problems. Advantages and potential problems of the proposed technique are discussed. Numerical experiments on simple, yet relevant model problems show that the resulting method allows to increase computational efficiency with respect to standard implementations of exponential methods.

研究の動機と目的

• 偏微分方程式（PDE）の指数時積分における計算コストを、グローバルな行列指数関数を局所的かつ並列化可能な計算に置き換えることで低減すること。
• スパース行列の行列指数関数における空間的局所性を、Iserlesのスパース行列に対する減衰推定によって理論的に裏付けられるとおりに活用すること。
• Padé近似を用いて小さな局所的指数行列を保存することで、反復的Krylov法の必要性を回避すること。
• 高次および異方的離散化において、特に大気および海洋モデルにおいて、スケーラビリティと効率性を向上させること。
• 高垂直コウラント数を有する問題に対して、方向分割法の代替として強固で局所的な手法を提供すること。

提案手法

• 計算領域を重複する部分を有するサブドメインに分割するための重複ドメイン分割を適用する。各サブドメインにバッファゾーンを設け、遠方の影響を最小限に抑える。
• スケーリングとスクエアリングを用いたPadé近似により、各サブドメインの局所的行列指数関数を計算し、保存および再利用可能にする。
• 局所的行列の指数関数を用いて、各サブドメイン内での解を進める。境界ノードは共有されるものとする。
• 物理的伝播速度と時間刻みに基づき、サブドメインを重複させることで、遠く離れたノードの影響が無視できるようにする。
• 局所問題を独立して並列に解くことで、通信コストを低減し、スケーラビリティを向上させる。
• 指数ルンゲ・クッタ法やその他の指数時積分法と統合することで、時間方向の高次精度を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的指数行列を用いて、PDEの時積分におけるグローバル行列指数関数を近似可能であり、精度を保持できるか？
• RQ2 重複サブドメインを有するドメイン分割は、標準的な指数法と比較して計算コストを低減できるか？
• RQ3 バッファゾーンのサイズが、特に高コウラント数において、効率性にどの程度の影響を与えるか？
• RQ4 高次または異方的離散化において、Padé近似を用いて局所的指数行列を効率的に保存・計算できるか？
• RQ5 大気および海洋シミュレーションのような強い異方性を有するモデルにおいて、LEMは半陰的法や半ラグランジュ法と同等の性能を示せるか？

主な発見

• 線形移流テストケースにおいて、コウラント数7で実行されたLEMは、4次精度の陽的ルンゲ・クッタ法と同等の2次精度を達成した。
• 異方的メッシュ上での非線形2次元バーゲルス方程式に対して、LEMは垂直コウラント数6、水平コウラント数1未満の条件下でも精度を維持した。この際、列方向のドメイン分割が用いられた。
• 重複バッファ領域に起因するオーバーヘッドがあるものの、局所的行列計算と保存の効率性のおかげで、標準的な指数法と比較して計算コストを低減した。
• Padé近似による局所的指数行列の保存により、反復的Krylov法の必要性が回避され、サブドメインサイズが小さい場合にはステップごとのコストが顕著に低減した。
• 高次ディスコンティンダスガラーキン法や異方的メッシュにおいて、高コウラント数が一般的な分野において、LEMは有望な手法であると示された。
• 特に、数値的ウェザーモデリングや海洋モデリングのような、強い垂直異方性を有するモデルにおいて、方向分割法の完全に局所的な代替手段を提供する。