[論文レビュー] Local factorization and monomialization of morphisms

Steven Dale Cutkosky|ArXiv.org|Mar 17, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、特性0の体上の優れた正則スキームの間の一般に有限な準同型に関して、構成的単項化定理を確立する。有限回のモノイダル変換（非特異中心に沿った吹き上げ）を施すことにより、著者らは、任意のこのような準同型が適切な統一化パラメータにおいて局所的に単項的になることを示している。これにより、座標関数が単位を除いて単項式であり、非特異のヤコビアン行列式を持つ形に系が分解される。これは、さらに特異中心に沿った吹き上げによる簡略化が一般には不可能であるという意味で、最良の意味で局所的因子分解および単項化結果を提供する。

ABSTRACT

Suppose that X to Y is a generically finite map of nonsingular varieties over a field of characteristic zero, and v is a valuation of the function field of X. We prove that it is possible to perform a sequence of monoidal transforms X' to X and Y' to Y so that X' to Y' is a monomial mapping at the center of v. We deduce from this that a birational morphism of nonsingular varieties can be factored along a valuation by a sequence of blowups and blowdowns with nonsingular centers.

研究の動機と目的

• 代数幾何における非単項的方程式系の解析問題を、単項形に変換することによって解決すること。
• 吹き上げを用いて一般に有限な準同型を単項写像に変換する、構成的でアルゴリズム的な方法を提供すること。
• 価値論に基づく吹き上げによるさらなる簡略化が一般には不可能であることを示すことによって、単項化における最強の局所的結果を確立すること。
• 高次元スキームへの単項化結果の一般化を図り、固有かつ完全な代数的多様体を用いた幾何的解釈を提供すること。
• 優れた正則局所環の局所的設定において、有限体拡張を伴う単項化が、特性0の仮定の下で達成可能であることを証明すること。

提案手法

• 正則素イデアルの吹き上げ（モノイダル変換）を用いて、段階的に準同型を単純化する。
• 均一化変換（UTS）を適用して、定義方程式の複雑さを段階的に低減する。
• 価値論とランク1の解析を用いて、関数の変換下での挙動を制御する。
• 源と被源の両方の環における吹き上げの列を構成し、単項形を達成する。
• ペロン変換とユニタリ置換を用いて、項の重複度を低減し、望ましい単項構造を達成する。
• 終了性と正しさを保証するため、零化の順序と価値論的挙動に関する帰納法とケース解析を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性0の体上の優れた正則スキーム間の一般に有限な準同型は、非特異中心に沿った吹き上げを用いて、局所的に単項写像に変換可能か？
• RQ2 準同型が価値論に沿った吹き上げ後に有限でなくなる場合でも、有限体拡張を伴う正則局所環の局所的設定において単項化が可能か？
• RQ3 与えられた準同型を単項化するために必要な最小のチャート数と吹き上げ回数は何か？ また、これはアルゴリズム的に達成可能か？
• RQ4 単項化が、固有性の価値論的基準と整合するように吹き上げが可能か？
• RQ5 価値論中心の吹き上げによるさらなる簡略化の障害は何か？ それらは特徴づけ可能か？

主な発見

• 主結果、定理Aは、特性0の体上に等次元をもつ優れた正則局所環 R ⊂ S に対して、K/S が有限体拡張であるとき、統一化パラメータにおいて単項的になるモノイダル変換 R′ と S′ が存在することを証明する。
• 単項形は x_i = y_1^{a_{i1}}⋯y_n^{a_{in}} δ_i で与えられ、δ_i は単位であり、det(a_{ij}) ≠ 0 である。これにより、変換が単位を除いて可逆であることが保証される。
• 構成は完全に構成的であり、有限回のモノイダル変換と均一化変換に依存する。
• 結果は最適である：アブヤンカールの例により、このような変換の後で写像 R′ → S′ が一般には有限にならないことが示されている。
• 幾何的バージョンである定理Bは、特性0の k-スキーム（char k = 0）の固有かつ非特異な優れたスキーム間の一般に有限な準同型が、源と被源の両方で非特異中心に沿った有限回の吹き上げを施すことにより、局所的に単項的になることを示している。
• 次元2の場合、単項化はグローバル単項形に強化可能であり、低次元におけるより深い構造的単純化を示している。