[論文レビュー] Local Fourier transforms and rigidity for D-modules

Spencer Bloch, Hélène Esnault|ArXiv.org|Dec 17, 2003

Rings, Modules, and Algebras参考文献 1被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ローレンツ形式の関数体上の正則的Dモジュールに対して、局所フーリエ変換を構成し、Laumonのℓ-adic理論を複素解析的設定に拡張する。また、全フーリエ変換のもとで剛性指数が不変であることを証明し、無限大の正則的接続が剛性であるための必要十分条件が剛性指数が2であることであることを示す。

ABSTRACT

Local Fourier trnasforms, analogous to the $\ell$-adic Fourier transforms, are constructed for connections over $k((t))$. Following a program of Katz, a meromorphic connection on a curve is shown to be rigid, i.e. determined by local data at the singularities, if and only if a certain cohomological condition is satisfied. We show that the index of rigidity is invariant under Fourier transform.

研究の動機と目的

• 複素ローレンツ形式関数体上の曲線における正則的DモジュールのLaumonの局所ℓ-adicフーリエ変換理論を、複素解析的設定に拡張すること。
• 局所フーリエ変換を用いて、正則的Dモジュールの剛性に関するコhomological基準を確立すること。
• 剛性指数が全フーリエ変換のもとで不変であることを証明し、Katzの結果をℓ-adicから複素解析的Dモジュールに一般化すること。
• 無限大の正則的接続が剛性であるための必要十分条件が剛性指数が2であることであることを示すこと。
• ℓ-adic設定では知られていない、剛性のコhomological特徴付けを提供すること。

提案手法

• Laumonのℓ-adic構成に類似した、$ k((t)) $ 上の正則的接続に対する局所フーリエ変換を構成すること。
• Grothendieckの形式的コホモロジーに関する定理を用い、接続 $ \psi = (\mathcal{O}, d + d(tt')) $ を介して、$ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ 上のde Rhamコホモロジーと相対コホモロジーを関係づけること。
• 接続の下での振る舞いを制御するために、接続のための良い格子対の概念を適用すること。
• 接続のための変形函手 $ F $ を定義し、Schlessingerの基準とコホモロジーの消滅を用いて、それがプロ代表可能かつ滑らかであることを示すこと。
• Artinの基準を用いて形式的モジュライ空間を代数化し、滑らかな基底 $ S $ 上に普遍族 $ \mathcal{M}_S $ の存在を証明すること。
• 障害理論を $ H^2(X, j_!^* \mathcal{E}nd(M)) \to H^2(X, j_!^* \mathcal{O}_U) \cong k $ を通じて分析し、行列式の自明性により障害が消えることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則的Dモジュールの剛性指数は、ℓ-adicの場合と同様に、全フーリエ変換のもとで不変であるか？
• RQ2 局所フーリエ変換を用いて、正則的接続の剛性に関するコホモロジー的基準を確立できるか？
• RQ3 無限大の正則的接続に対して、剛性指数が2であることと実際に剛性であることは同値か？
• RQ4 $ k((t)) $ 上のDモジュール設定において、Laumonのℓ-adic版と類似した性質を持つ局所フーリエ変換を構成できるか？
• RQ5 良い格子対は、フーリエ変換のもとでの接続の振る舞いを制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 正則的Dモジュールの局所フーリエ変換が構成され、Laumonのℓ-adic局所フーリエ変換と類似した性質を満たすことが示された。
• 剛性指数が全フーリエ変換のもとで不変であることが証明され、Katzの結果が複素解析的Dモジュール設定に拡張された。
• 無限大の正則的接続が剛性であるための必要十分条件が、剛性指数が正確に2であることである。
• 接続の変形函手は滑らかでプロ代表可能であり、障害は $ H^2(X, j_!^* \mathcal{E}nd(M)) $ に位置するが、行列式の自明性により消える。
• コホモロジー的基準は $ H^1(X, j_!^* \mathcal{E}nd(M)) \to H^1(\widehat{U}, \mathcal{E}nd(M)) $ を通じて確立され、ℓ-adicの場合には知られていなかった新しい特徴付けが得られた。
• Artinの基準を用いて、形式的モジュライ空間の代数化がなされ、滑らかな基底 $ S $ と普遍族 $ \mathcal{M}_S $ の存在が証明された。