[論文レビュー] Local Friedel sum rule on graphs

Christophe Texier, Μ. Büttiker|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Nov 25, 2002

Graph theory and applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、頂点で接続された1次元ワイヤからなる量子グラフに対して局所的 Friedel の和則を確立し、散乱行列の性質と局所的状態密度（LDoS）を結びつける。連続的（散乱）および離散的（局在）なスペクトル成分を含む。特定の点に補助レードを導入し、透過率ゼロの極限を解析することで、注入性、放射性、および部分的 LDoS の関係を導出し、離散的成分が対称性によって外部レードと結合しない状態に起因することを示した。標準的 Friedel の和則は連続的成分に対してのみ有効な修正版が成立する。

ABSTRACT

We consider graphs made of one-dimensional wires connected at vertices and on which may live a scalar potential. We are interested in a scattering situation where the graph is connected to infinite leads. We investigate relations between the scattering matrix and the continuous part of the local density of states, the injectivities, emissivities and partial local density of states. Those latter quantities can be obtained by attaching an extra lead at the point of interest and by investigating the transport in the limit of zero transmission into the additional lead. In addition to the continuous part related to the scattering states, the spectrum of graphs may present a discrete part related to states that remain uncoupled to the external leads. The theory is illustrated with the help of a few simple examples.

研究の動機と目的

• 量子グラフに対して、散乱行列の性質と局所的スペクトル量（局所的状態密度、注入性、放射性など）を関連付ける局所的 Friedel の和則を確立すること。
• 外部レードから分離された状態をもつ対称性を持つグラフにおいて、状態密度の連続的（散乱）および離散的（局在）成分を同時に取り扱うこと。
• 特定の点に透過率がゼロとなる補助レードを接続することで、局所的輸送およびスペクトル的性質を抽出する手法を開発すること。
• 外部レードに結合しない局在状態を含む標準的 Friedel の和則を一般化し、状態密度の連続的成分のみが散乱行列と関係することを示すこと。

提案手法

• 局所的状態密度（LDoS）は連続的および離散的寄与に分解される：ρ(x;E) = ∑α|ψ̃E(α)(x)|² + ∑n ∑j=1^{gn} δ(E−En)|φn,j(x)|²。ここで第一項は散乱状態に対応し、第二項は局在的束縛状態に対応する。
• 状態密度の連続的成分は散乱行列 Σ を通じて修正 Friedel の和則により関連づけられる：ρreg(E) = 1/(2iπ) [ d/dE ln det Σ + (1/(4E)) Tr{Σ − Σ†} ]。
• 注入性および放射性は、特定の点に補助レードを接続し、透過振幅をゼロの極限にとることで、系の応答を用いて定義される。これにより局所的輸送性質が抽出される。
• 本手法はグラフ上の散乱行列形式に基づく。波動関数は頂点で連続であり、ハミルトニアンにはスカラー位相が含まれる。対称性に起因する局在的状態により、スペクトルは正則（連続的）および離散的成分に分離される。
• 時間反転対称性は、グラフの散乱状態をその時間反転版のものと関連づけることで分析され、Σ†(ψ̃^{t.r.})^T = ψ̃† および ψ̃^{t.r.} = ψ̃*Σ^T が成り立つ。
• 簡単な例（磁場フラックスを有するリング）を用いて手法を説明する。Friedel の位相 δf は、フラックス θ がゼロでない場合、区間ごとに2つの 2π のジャンプを示すが、θ = 0 の場合は1つのジャンプに減る。

Figure 1: Ring penetrated by an Aharonov-Bohm flux coupled to two leads. The functional derivative of the scattering matrix at $x$ determines the local quantities: partial density of states, injectivities, emissivities and the local density of states.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子グラフ上の局所的状態密度は、散乱状態と局在状態の寄与にどのように分解できるか？
• RQ2 局在的束縛状態を有するグラフにおいて、散乱行列と状態密度の連続的成分との関係は何か？
• RQ3 特定の点に透過率がゼロとなる補助レードを接続することで、注入性および放射性をどのように定義・計算できるか？
• RQ4 時間反転対称性は、磁場フラックスを有する量子グラフの散乱状態および Friedel の位相にどのように影響するか？
• RQ5 波数および磁場フラックスの関数として、リンググラフにおける Friedel の位相 δf(k²) の振る舞いは何か？θ = 0 と θ ≠ 0 の場合でどのように異なるか？

主な発見

• 状態密度の連続的成分は、散乱行列の非エルミート構造を考慮した修正 Friedel の和則により関係づけられる。
• 外部レードに結合しないまま残る局在状態は、状態密度に離散的 δ 関数成分をもたらし、これは標準的 Friedel の和則では捉えられない。
• 磁場フラックス θ ≠ 0 の場合、Friedel の位相 δf(k²) は区間ごとに2つの 2π のジャンプを示すが、θ = 0 の場合は1つのジャンプにとどまる。これはデゲネラシーの解除を反映する。
• k² = 0 における δf の不連続性は、θ ≠ 0 の場合 π、θ = 0 の場合 0 であり、フラックスに起因する位相のトポロジカルな相違を示す。
• 時間反転グラフの散乱状態は、Σ†(ψ̃^{t.r.})^T = ψ̃† を満たし、時間反転対称性が散乱振幅にどのように作用するかを示す。
• 弱結合極限において、共鳴エネルギー En の近傍では散乱状態が ψ̃(α)(x) ≈ (1/√π) [iEn^{1/4} wα φn(α)* / (E − En + iΓn)] φn(x) と近似され、時間反転状態は波動関数振幅の複素共役によって異なる。

Figure 8: Friedel phase $\delta_{f}(k^{2})$ . The coupling is $w=0.25$ and the length $l=1$ . The four curves corresponds to $\theta=1.5$ (squares), $\theta=0.5$ (triangles), $\theta=0.1$ (diamonds) and $\theta=0$ (circles). The two lines are $kl$ and $2kl$ . If $\theta\neq 0$ there are two jumps of