[論文レビュー] Local Galois representations of Swan conductor one

Naoki Imai, Takahiro Tsushima|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限体上のアフィン直線に上るアーティン・シュライエル層のエタールコホモロジーを用いて、複素数体上でのスワン導出数1の局所ガロア表現を構成する。この表現の明示的な幾何的実現がなされ、特に $ p \mid n $ の非本質的ターミナルな場合に、局所ラングランズ対応を通じて $ \mathrm{GL}_n(K) $ の単純超臨界表現と対応づけられる。主な結果は、このような表現のラングランズパラメータを完全に幾何的に構成することにある。

ABSTRACT

We construct the local Galois representations over the complex field whose Swan conductors are one by using etale cohomology of Artin-Schreier sheaves on affine lines over finite fields. Then, we study the Galois representations, and give an explicit description of the local Langlands correspondences for simple supercuspidal representations. We discuss also a more natural realization of the Galois representations in the etale cohomology of Artin-Schreier varieties.

研究の動機と目的

• 局所ラングランズ対応を仮定せずに、ウェイリ群 $ W_K $ のスワン導出数1の既約ガロア表現を構成すること。
• エタールコホモロジーを用いて、$ \mathbb{A}^1_{k^{\mathrm{ac}}} $ 上のアーティン・シュライエル層の pulled back を用いた、これらの表現の明示的な幾何的実現を提供すること。
• スワン導出数1の $ \mathrm{GL}_n(K) $ の単純超臨界表現に対する局所ラングランズ対応を、$ p \mid n $ の場合、つまり本質的ターミナルでない場合に確立すること。
• この方法を $ \ell $-進整数係数および $ \ell $ を法とする係数へ一般化し、幾何的および算術的安定性を高めること。

提案手法

• 構成は、写像 $ \pi(y) = y^{p^e + 1} $ を通じてアーティン・シュ Raiエル $ \ell $-進層 $ \mathcal{L}_\psi $ の引き戻しのエタールコホモロジー $ H^1_c(\mathbb{A}^1_{k^{\mathrm{ac}}}, \pi^*\mathcal{L}_\psi) $ を用いる。
• ウェイリ群 $ W_{E_\zeta} $ に対する自然な作用が定義され、ここから $ E_\zeta = K[X]/(X^{n'} - \zeta\varpi) $ に対応する、$ W_{E\zeta} $ の原始的表現 $ \tau_{n,\zeta,\chi,c} $ が得られる。
• 表現 $ \tau_{\zeta,\chi,c} $ は、$ \tau_{n,\zeta,\chi,c} $ の誘導により $ W_K $ 上に得られ、本質的ターミナルの場合の「正規化子」に類似した微妙な文字指標のねじれが含まれる。
• この構成は、$ x^p - x = y^{p^e+1} + \nu_{n-2}((y_i)) $ で定義されるアーティン・シュライエル多様体 $ X $ のコホモロジーに一般化され、クネンツの定理と幾何的道具（リーマン・ホッホシュタインのトレース公式など）が用いられる。
• $ Q \rtimes \mathbb{Z} $ の $ H^{n-1}_c(X, \overline{\mathbb{Q}}_\ell) $ 上の作用が解析され、Frobenius作用と文字指標のねじれの整合性により、表現 $ \rho_n $ が $ \tau_n $ に同型であることが示される。
• Bushnell–Henniart の局所ラングランズ対応の特徴付けと $ \varepsilon $-因子を用いて、同型 $ \tau_{\zeta,\chi,c} \simeq \pi_{\zeta,\chi,c} $ が検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スワン導出数1の既約ガロア表現を、局所ラングランズ対応を仮定せずに、どのように幾何的に構成できるか？
• RQ2 $ p \mid n $、つまり非本質的ターミナルの場合に、単純超臨界表現のラングランズパラメータの明示的形は何か？
• RQ3 このような表現に対する局所ラングランズ対応は、アーティン・シュライエル多様体のエタールコホモロジーに実現可能か？
• RQ4 構成における文字指標のねじれ（本質的ターミナルの場合の「正規化子」に類似）は、ラングランズ対応における $ \varepsilon $-因子および $ L $-因子データとどのように関係するか？
• RQ5 原始的ガロア表現 $ \tau_n $ を実現するコホモロジーの正確な幾何的構造は何か？

主な発見

• スワン導出数1の $ W_K $ 上のガロア表現 $ \tau_{\zeta,\chi,c} $ は、$ \mathbb{A}^1_{k^{\mathrm{ac}}} $ 上の $ \pi^*\mathcal{L}_\psi $ のエタールコホモロジーを用い、$ W_{E_\zeta} $ からの誘導と、局所ラングランズ対応と整合する文字指標のねじれを介して構成される。
• $ n = p^e $ のとき、$ \tau_{\zeta,\chi,c} $ が原始的（真の部分群からの誘導でない）であることが示され、非本質的ターミナル性が裏付けられる。
• 局所ラングランズ対応が明示的に実現されている：$ \tau_{\zeta,\chi,c} $ は、$ \mathrm{GL}_n(K) $ の単純超臨界表現 $ \pi_{\zeta,\chi,c} $ に対応し、$ L $-因子と $ \varepsilon $-因子の一致により検証された。
• 表現 $ \tau_n $ は、$ x^p - x = y^{p^e+1} + \nu_{n-2}((y_i)) $ で定義されるアーティン・シュライエル多様体 $ X $ のコホモロジー $ H^{n-1}_c(X, \overline{\mathbb{Q}}_\ell) $ に実現され、$ Q \rtimes \mathbb{Z} $ の明示的作用が与えられる。
• クネンツの定理と $ Q \rtimes \mathbb{Z} $-作用と文字指標のねじれの整合性を用い、トレース公式とガウス和の計算により、同型 $ \rho_n \simeq \tau_n $ が確立される。
• $ \varepsilon $-因子 $ \varepsilon(\xi_{n,\zeta}, \psi_{M'^{\mathrm{u}}_\zeta}) $ が $ (-1)^{1 + \epsilon_0} $ に等しいことが計算され、局所ラングランズ特徴付けと整合することが確認された。