[論文レビュー] Local generalization of Pauli's theorem

Н. Г. Марчук, Dmitry Shirokov|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2012

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド空間内の滑らかなクライフォード代数生成子の族へポーライの定理を拡張し、$ n $ が偶数のとき、2つのこのような族が局所的に滑らかな類似変換によって関連付けられることを証明する。$ n $ が奇数のとき、すべての可能な接続タイプが分類される。問題はスピン接続から導かれる偏微分方程式系の解法に帰着され、低次元の場合（$ n=2 $, $ r \geq 1 $ および $ n \geq 2 $, $ r=1 $）に対して明示的な解が提示される。

ABSTRACT

Generalized Pauli's theorem, proved by D. S. Shirokov for two sets of anticommuting elements of a real or complexified Clifford algebra of dimension $2^n$, is extended to the case, when both sets of elements depend smoothly on points of Euclidian space of dimension $r$. We prove that in the case of even $n$ there exists a smooth function such that two sets of Clifford algebra elements are connected by a similarity transformation. All cases of connection between two sets are considered in the case of odd $n$. Using the equation for the spin connection of general form, it is shown that the problem of the local Pauli's theorem is equivalent to the problem of existence of a solution of some special system of partial differential equations. The special cases $n=2$, $r\geq 1$ and $n\geq 2$, $r=1$ with more simpler solution of the problem are considered in detail.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間内の点に滑らかに依存するクライフォード代数生成子の族へのポーライの定理の一般化を図ること。
• 滑らかに変化する反交換関係を満たすクライフォード代数要素の2組が、滑らかな類似変換によって関連付けられるための条件を確立すること。
• $ n $ が奇数のとき、このような2組の間のすべての可能な接続タイプを分類すること。
• 局所的ポーライ問題がスピン接続から導かれる偏微分方程式系の解法に帰着されることを示すこと。
• 特殊ケース、特に $ n=2 $, $ r \geq 1 $ および $ n \geq 2 $, $ r=1 $ に対して明示的な解を、指数写像およびスピンルールに類似した変換を用いて構成すること。

提案手法

• 実または複素化されたクライフォード代数 $ \mathcal{C}\!\ell^{\mathbb{F}}(p,q) $ に値をとる滑らかな関数 $ g^a(x), h^a(x) $ を用いて問題を定式化し、反交換関係 $ g^a g^b + g^b g^a = 2\eta^{ab}e $ を満たすようにする。
• スピン接続を $ C_\mu = \frac{1}{4}(\partial_\mu h^a) h_a $ で定義し、変換 $ T(x) = \exp(C(x))K $（$ K $ は可逆）を生成する。
• 方程式 $ \partial_\mu S(x) = C_\mu(x) S(x) $ を用いて解 $ S(x) = \exp(C(x))K $ を導出し、$ g^a(x) = T^{-1}(x) h^a(x) T(x) $ が成り立つことを保証する。
• $ n $ が偶数のとき、任意の点 $ x_0 $ の近傍 $ O_\varepsilon(x_0) $ において滑らかで可逆な $ T(x) $ が存在することを証明する。
• $ n $ が奇数のとき、2つの集合間のすべての可能な接続タイプを分類し、変換が大域的に存在しない可能性があることを示す。
• 特殊ケース（$ n=2 $, $ r \geq 1 $ および $ n \geq 2 $, $ r=1 $）を、回転／ブースト行列の明示的パラメータ化を用いて分析し、$ C_\mu $ と $ T(x) $ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間内の滑らかに変化する反交換関係を満たすクライフォード代数生成子の2組が、滑らかな類似変換によって関連付けられるための条件は何か？
• RQ2 局所的ポーライ問題は、スピン接続を含む偏微分方程式系の解法にどのように帰着されるか？
• RQ3 $ n $ が奇数のとき、2つのこのような集合間のすべての接続タイプの完全な分類と可能なタイプは何か？
• RQ4 $ n=2 $, $ r \geq 1 $ および $ n \geq 2 $, $ r=1 $ などの低次元ケースに対して明示的な解を構成できるか？
• RQ5 非アーベル的スピン接続（すなわち $ [C_\mu, C\nu] \neq 0 $）は、局所的ポーライ問題の可解性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• $ n $ が偶数のとき、任意の点 $ x_0 $ の近傍で滑らかで可逆な変換 $ T(x) $ が存在し、$ g^a(x) = T^{-1}(x) h^a(x) T(x) $ を満たす。$ T(x) $ は $ C^k $ 級である。
• 変換 $ T(x) $ は、非ゼロの滑らかなスカラー関数（$ \mathbb{R} $ の場合は実数、$ \mathbb{C} $ の場合は複素数）による乗算を除き一意である。
• $ n=2 $ の場合、$ T(x) = \exp(C(x))K $ を用いて明示的な解が構成され、$ C_\mu = \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi \cdot e^{12} $ であり、$ \varphi(x) $ は滑らかな関数である。
• $ n=2 $, $ r=1 $ の場合、解 $ T(x) $ はすべての $ x \in V $ に対して $ e^a = T^{-1}(x) h^a(x) T(x) $ を満たし、$ T(x) = \cos(\varphi(x)/2)e \pm \sin(\varphi(x)/2)e^{12} $ である。
• $ n=3 $, $ r=1 $ の場合、$ h^a $ がオイラー角でパラメータ化され、スピン接続 $ C_\mu $ は非アーベル的（$ [C_\mu, C_\nu] \neq 0 $）であり、ポアンカレの補題は適用されない。
• 局所的ポーライ問題は方程式 $ \partial_\mu S(x) = C_\mu(x) S(x) $ の解法に帰着され、解は $ S(x) = \exp(C(x))K $ である。$ T(x) $ はすべての $ x \in V $ に対して可逆である。