[論文レビュー] Local-global compatibility for regular algebraic cuspidal automorphic representation when $\ell eq p$

Ila Varma|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、CM体上のGL_nの正則代数的カスプ形式的自動表現πについて、すべてのpを割らない場所vで局所的・大域的整合性を確立し、πに付随するp進ガロア表現のフロベニウス半単純化が、半単純化までにまでして局所ラングランズ対応と一致することを証明する。主な結果は、ガロア表現のモノドロミーが局所ラングランズパラメータのそれよりも「より冪零的」であることを示しており、未分岐な場所を超えて、従来の整合性結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove the compatibility of local and global Langlands correspondences for $GL_n$ up to semisimplification for the Galois representations constructed by Harris-Lan-Taylor-Thorne and Scholze. More precisely, let $r_p(π)$ denote an $n$-dimensional $p$-adic representation of the Galois group of a CM field $F$ attached to a regular algebraic cuspidal automorphic representation $π$ of $GL_n(\mathbb{A}_F)$. We show that the restriction of $r_p(π)$ to the decomposition group of a place $v mid p$ of $F$ corresponds up to semisimplification to $rec(π_v)$, the image of $π_v$ under the local Langlands correspondence. Furthermore, we can show that the monodromy of the associated Weil-Deligne representation of $.r_p(π)|_{G_{F_v}}$ is `more nilpotent' than the monodromy of $rec(π_v)$.

研究の動機と目的

• CM体上のGL_nの正則代数的カスプ形式的自動表現πについて、未分岐な場所にとどまらず、すべての場所v ∤ pにおける局所的・大域的整合性を拡張すること。
• π_v ⊗ |det|^{(1−n)/2} に対するフロベニウス半単純化が、r_p(π) に付随するp進ガロア表現の局所ラングランズ対応と半単純化までに一致することを確立すること。
• ガロア表現のモノドロミー作用素が、局所ラングランズパラメータのそれよりも「より冪零的」であることを示し、整合性条件を精緻化すること。
• ユニタリ相似性群上の古典的カスプ形式のp進極限を用いて連続な擬表現を構成し、ガロア側とラングランズ側のトレース比較を可能にすること。
• 過収束自動形式におけるベルンシュタイン中心とトレース公式の技法を用い、ヘッケ固有値を非古典的重みへ補間し、整合性を導出すること。

提案手法

• GL_1 × GL_nからの誘導により、符号が(n,n)の準分裂ユニタリ相似性群G上の、GL_nの正則代数的カスプ形式的自動表現Π(M)の族を構成する。
• p進自動形式の理論を用い、Π(M)をp進モジュラー形式空間内の有限スロープの部分表現として実現する。
• p進および古典的カスプ形式に作用するヘッケ代数に対するベルンシュタイン中心を適用し、ヘッケ作用素の固有値が局所ラングランズパラメータのトレースと一致することを示す。
• F̄/Fのガロア群への連続な擬表現T: Gal(F̄/F) → Q̄_pを構成し、F^+に分岐しないすべての場所v ∤ pで、rec_{F_v}(Π(M)_v ⊗ |det|^{(1−2n)/2})のトレースと一致することを保証する。
• ウェイル群におけるフロベニウス元の稠密性と同型成分の構造を用い、ウェイル＝デリーニュ表現におけるモノドロミーを比較する。
• 十分大きなMに対してR_p(π, M) ≅ r_p(π) ⊕ r_p(⁰cπ)^c,∨ ⊗ ε_p^{1−2n−2M} が成り立つことを利用して、成分を分離し、成分ごとの支配性に基づいてモノドロミーを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア表現r_p(π)の局所的・大域的整合性は、未分岐な場所にとどまらず、すべてのv ∤ pで成り立つか？
• RQ2 r_p(π)|_{G_{F_v}}に付随するウェイル＝デリーニュ表現のモノドロミー作用素は、局所ラングランズパラメータのモノドロミー作用素の性質によって上から抑えられるか？
• RQ3 古典的カスプ形式のp進極限を用いて、ガロア側とラングランズ側のトレース一致を未分岐でない場所へ拡張することは可能か？
• RQ4 過収束形式におけるベルンシュタイン中心の構造は、ヘッケ固有値を非古典的重みへ補間するためにどのように寄与するか？
• RQ5 フロベニウス半単純化において、r_p(π)の同型成分と局所ラングランズパラメータのそれらの間の正確な関係は何か？

主な発見

• r_p(π)|_{G_{F_v}}に付随するウェイル＝デリーニュ表現のフロベニウス半単純化は、局所ラングランズパラメータによって支配される：WD(r_p(π)|_{G_{F_v}})^{Frob-ss} ≺ rec_{F_v}(π_v ⊗ |det|_{v}^{(1−n)/2})。
• すべてのv ∤ pで、半単純化されたウェイル＝デリーニュ表現は、WD(r_p(π)|_{G_{F_v}})^{ss} ≅ 𝔦^{-1} rec_{F_v}(π_v ⊗ |det|_{v}^{(1−n)/2})^{ss} を満たし、未分岐な場所に限らない既存の結果を拡張する。
• WD(r_p(π)|_{G_{F_v}})^{Frob-ss} のモノドロミー作用素は、rec_{F_v}(π_v ⊗ |det|_{v}^{(1−n)/2}) のそれよりも「より冪零的」であり、その冪零指数が小さいことを意味する。
• 古典的カスプ形式のp進極限を用いた擬表現Tの構成により、すべてのF^+に分岐しないv ∤ pでトレース一致が保証され、大域的整合性が成立する。
• 十分大きなMに対して、r_p(π)とr_p(⁰cπ)^c,∨ ⊗ ε_p^{1−2n−2M} の同型成分は互いに交わらないため、モノドロミー構造を成分ごとに比較可能となる。
• この結果は、CM体F上のGL_n(A_F)におけるすべての正則代数的カスプ形式的自動表現πに対して成り立ち、r_p(π)は過収束形式から基底変換および自動的誘導を用いて構成される。