[論文レビュー] Local-global principles for embedding of fields with involution into simple algebras with involution

Gopal Prasad, Andrei S. Rapinchuk|ArXiv.org|Jun 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所的埋め込みがすべての場所で存在するならば、それが大域的にも存在することを示す、局所-大域原理を、グローバル体上の単純代数に自己同型を備えた体の埋め込みに関して確立する。ただし、行列代数 $M_m(D)$ において $D$ がクaternion除法代数で、$ au$ が直交的自己同型である場合を除き、その場合に局所-大域原理が成立しないことが示される。主な貢献は、埋め込み障害のコホロロジー的特徴付けと、$n$ が偶数で $n > 4$ のタイプ $D_n$ の弱く共役な算術群に関する長年の未解決問題の解決である。結果として、タイプ $D_4$ を除くすべての絶対的単純代数的群において、弱く共役なザリスキ・DNA $S$-算術部分群の分類が完全に達成され、次元 $4n+7$ の長さ共役および同スペクトル的双曲的多様体に関する新しい結果が得られる。付録では、埋め込み定理のガロアコホロロジー的解釈が提供される。

ABSTRACT

In this paper we prove local-global principles for embedding of fields with involution into central simple algebras with involution over a global field. These should be of interest in study of classical groups over global fields. We deduce from our results that in a group of type D_n, n>4 even, two weakly commensurable Zariski-dense S-arithmetic subgroups are actually commensurable. A consequence of this result is that given an absolutely simple algebraic K-group G of type D_n, n>4 even, K a number field, any K-form G' of G having the same set of isomorphism classes of maximal K-tori as G, is necessarily K-isomorphic to G. These results lead to results about isolength and isospectral compact hyperbolic spaces of dimension 2n-1 with n even.

研究の動機と目的

• グローバル体上の中間単純代数に自己同型を備えた体の埋め込み $(E,\tau) \to (A,\tau)$ の存在に関する局所-大域原理を確立すること。
• タイプ $D_4$ を除く絶対的単純代数的群における弱く共役なザリスキ・DNA $S$-算術部分群の分類における空白を埋めること。
• 代数 $A = M_m(D)$、$D$ をクaternion除法代数、$m$ を偶数とし、$ au$ が直交的自己同型である場合に、局所-大域原理がなぜ失敗するかを特定すること。
• ブレア＝マニン障害とマルチノームトーラスを介して、ガロアコホロロジー的解釈により埋め込み障害を特徴づけること。

提案手法

• ガロアコホロロジーを用いて、埋め込み $(E,\tau) \to (A,\tau)$ の存在を、同次空間 $Y$ 上の有理点の存在条件に翻訳する。
• マルチノーム原理とガロアコホロロジーのハッセの原理を適用し、埋め込み条件の局所的可解性と大域的可解性を分析する。
• 標準的なコホロロジー的道具が失敗する直交的自己同型の非連結ケースを扱うために、新しいコホロロジー不変量 $[C(A,\nu,\theta)]$ を導入する。
• ブレア＝マニン障害を用い、明示的なコホロロジー的基準によりその消滅を計算し、大域的埋め込みが存在する条件を特定する。
• 埋め込み問題を、多様体 $Y = \{(b,h) \in \mathrm{R}_{F/K}(\mathrm{GL}_1) \times \mathrm{GL}_{1,A} \mid g\varepsilon(b) = \tau(h)h\}$ 上の $K$-有理点の存在問題に還元する。
• 群 $\mathscr{G} = H \times \mathrm{R}_{E/K}(\mathrm{GL}_1)$ が $Y$ 上に作用することを用い、埋め込み問題を同次空間の枠組みで解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル体 $K$ のすべての場所で埋め込み $(E,\tau) \to (A,\tau)$ が局所的に存在するならば、どのような条件下でそれが大域的にも存在するか？
• RQ2 なぜ $A = M_m(D)$、$D$ をクaternion除法代数、$m$ を偶数とし、$ au$ が直交的自己同型である場合に、局所-大域原理が失敗するのか？
• RQ3 この例外的な場合における局所-大域原理の失敗は、最大部分体の不変量を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ4 ブレア＝マニン障害は、直交的自己同型の場合に、埋め込みの存在をどの程度制御するか？
• RQ5 同次空間のコホロロジー的枠組みを用いることで、さまざまなタイプの自己同型における埋め込み障害の統一的取り扱いが可能か？

主な発見

• シミプレクティック自己同型の場合、局所-大域原理は条件なしに成立し、非自己同型埋め込みが存在する場合には実場でのチェックのみが必要である。
• グローバル体上の行列代数における直交的自己同型の場合、局所-大域原理は $A = M_m(D)$、$m$ が偶数、$D$ がクaternion除法代数である場合に失敗する。
• 例外的な場合において、局所的に $(A,\tau)$ と同型な代数は、自己同型に関して不変な最大部分体によって特徴づけられ、これは局所-大域原理の失敗を示している。
• 結果として、タイプ $D_4$ を除くすべての絶対的単純代数的群において、弱く共役なザリスキ・DNA $S$-算術部分群の分類が完全に達成され、$n$ が偶数で $n > 4$ のタイプ $D_n$ では、弱い共役性が実際に共役性を意味することが示された。
• その結果、次元 $4n+7$（$n \geq 1$）における長さ共役および同スペクトル的コンパクトな双曲的多様体に関する新しい結果が得られた。
• 付録では、埋め込み定理のガロアコホロロジー的解釈が提供され、大域的埋め込みの存在が特定のコホロロジー的障害の消滅と同値であることが示された。