[論文レビュー] Local-global principles for homogeneous spaces over some two-dimensional geometric global fields

Diego Munguía Izquierdo, Giancarlo Lucchini Arteche|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、2次元の幾何的グローバル体（具体的には C((x,y)) の有限拡張および C((t)) 上の関数体）上で、連結またはアーベル的安定化部分群をもつ同次空間について、古典的ブラウアー–マニン障害が局所的グローバル原理の失敗を説明するのに不十分であることを確立している。これを解決するために、準自明トーラスの下での torsor を用いた降下とブラウジャー–マニン障害を組み合わせた洗練された障害を導入し、関連する状況においてそれが唯一の障害であることを証明している。

ABSTRACT

In this article, we study the obstructions to the local-global principle for homogeneous spaces with connected or abelian stabilizers over finite extensions of the field $\mathbb{C}((x,y))$ of Laurent series in two variables over the complex numbers and over function fields of curves over $\mathbb{C}((t))$. We give examples that prove that the usual Brauer-Manin obstruction is not enough to explain the failure of the local-global principle, and we then construct a variant of this obstruction using torsors under quasi-trivial tori which turns out to work. In the end of the article, we compare this new obstruction to the descent obstruction with respect to torsors under tori. For that purpose, we use a result on towers of torsors, that is of independent interest and therefore is proved in a separate appendix.

研究の動機と目的

• 2次元の幾何的グローバル体上で、連結またはアーベル的安定化部分群をもつ同次空間について、ブラウジャー–マニン障害が局所的グローバル原理の失敗を説明するのに十分かどうかを調査すること。
• C((x,y)) や C((t)) 上の関数体上で、アデール点は持つが有理点を持たない明示的な反例を構成することで、これらの設定において標準的なブラウジャー–マニン障害が不十分であることを示すこと。
• 準自明トーラスの下での torsor を用いた降下とブラウジャー–マニン障害を組み合わせた新しい障害を構築し、その有効性を証明すること。
• 一般トーラスを用いた古典的降下障害とこの新しい障害を比較し、特定の条件下で等価であることを示すこと。
• ガロアコhomology と ピック群を用いた torsor トーラスの標準的構成を確立すること。これは独立した価値を持つ。

提案手法

• C((x,y)) や C((t)) 上の関数体上で、SLn による同次空間で、トーリック安定化部分群をもつ明示的な反例を構成し、アデール点は持つが有理点を持たないことを示し、ブラウジャー–マニン障害が不十分であることを証明する。
• 準自明トーラスの下での torsor の降下データとブラウジャー–マニン集合を組み合わせることで、新しい障害を導入し、ガロア降下を用いて明示的に torsor W → Z を定義する。
• [DLA19] の結果を応用し、群スキームの拡張 1 → T → E → G → 1 を構成し、合成写像 Z → X が E- torsor であることを示す。
• 標準的構成とガロア降下を用いて、W(AK)Br(W) が空でないことがかつて Z(K) が空でないことに同値であることを証明する。
• 付録で証明された torsor の塔に関する重要な結果を用い、Pic(G) = 0 の下で、G- torsor の後に T- torsor を続けると、T を中心に持つ拡張 E による E- torsor に引き上げられることを示す。
• 関連するブラウアー群の商は、アルゴリズム的に有効でないにせよ、原則として有限かつ計算可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元の幾何的グローバル体上で、連結またはアーベル的安定化部分群をもつ同次空間について、ブラウジャー–マニン障害が局所的グローバル原理の失敗をすべて説明できるか？
• RQ2 準自明トーラスの下での降下とブラウジャー–マニン障害を組み合わせた洗練された障害が、このような失敗を完全に説明できるか？
• RQ3 この新しい障害は、一般トーラスを用いた古典的降下障害と、この文脈においてどのように比較できるか？
• RQ4 これらの体上の torsor トーラスの構造は何か？ そして、それらは標準的に構成可能か？
• RQ5 codimension-1 点からの条件を超えた追加の局所的条件を用いて、ブラウジャー–マニン障害を強化できるか？

主な発見

• 本論文は、C((x,y)) や C((t)) 上の関数体上で、アデール点（Z(AK)Br ≠ ∅）は持つが有理点を持たない同次空間の明示的例を構成し、ブラウジャー–マニン障害が十分でないことを証明している。
• 連結な幾何的安定化部分群をもつこれらの体上の同次空間について、ブラウジャー–マニン障害と準自明トーラスの下での降下を組み合わせた新しい障害が、局所的グローバル原理の障害として唯一のものであることを証明している。
• T が準自明トーラスである torsor W → Z に対して、Z(K) ≠ ∅ と W(AK)Br(W) ≠ ∅ が同値である。ブラウアー群の条件は有限部分商に制限される。
• 著者らは、G- torsor の後に T- torsor を続けると、1 → T → E → G → 1 となる拡張群スキーム E による E- torsor に引き上げられることを、標準的構成により確立している。これは Pic(G) = 0 の下で成り立つ。
• 降下集合が空でないという仮定の下で、新しい障害が一般トーラスを用いた古典的降下障害と等価であることが示されている。
• 証明は、Pic(G) = 0 かつ幾何的整域性の下で、このような torsor トーラスが標準的に拡張群スキーム E に引き上げられることを示す、新しい結果に依拠している。