[論文レビュー] Local index theory for certain Fourier integral operators on Lie groupoids

Denis Perrot|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非正規かつ非等長作用を伴うリー群ガロア上におけるフーリエ積分作用素のための局所的インデックス理論を構築するために、真の作用素とそれらの非可換記号を結ぶ短完全列を構成することで、非可換記号の固定点集合におけるジャンプのジェットを含むWodzicki型のトレース公式を用いて、周期的循環コホモロジーにおける接続写像を計算する。これは、正規または等長作用の古典的ケースを超えて一般化されたインデックス定理を実現する。

ABSTRACT

We develop a local index theory for Fourier-integral operators associated to non-proper and non-isometric actions of Lie groupoids on smooth submersions. To such action is associated a short exact sequence of algebras, relating genuine Fourier-integral operators to their non-commutative symbol. We then compute the connecting map induced by this extension on periodic cyclic cohomology. When cyclic cohomology is localized at appropriate isotropic submanifolds of the groupoid in question, we find that the connecting map is expressed in terms of an explicit Wodzicki-type residue formula, which involves the jets of non-commutative symbols at the fixed-point set of the action.

研究の動機と目的

• リー群ガロアによる非正規かつ非等長作用に関連するフーリエ積分作用素へのインデックス理論の拡張を図ること。
• リー群ガロア作用の文脈において、真の作用素とそれらの非可換記号を結ぶ短完全列の代数構造を確立すること。
• この拡張における周期的循環コホモロジーの接続写像を、特に同調的部分多様体に局所化して計算すること。
• 正規または等長作用の古典的ケースを超えて、離散群作用を含むインデックス定理を一般化すること。
• 固定点集合における非可換記号のジェットを用いた、除去写像のトレース公式を提示すること。

提案手法

• 短完全列の代数を構成する: $0 \to \mathscr{B} \to \mathscr{E} \to \mathscr{A} \to 0$ ここで $\mathscr{E}$ は垂直擬微分作用素の交叉積代数であり、$\mathscr{A}$ は作用群ガロア $S^{*}_{\pi}M \rtimes G$ の滑らかな畳み込み代数である。
• 周期的循環コホモロジーの除去性を用いて、接続写像 $E^*: HP^\bullet(\mathscr{B}) \to HP^{\bullet+1}(\mathscr{A})$ を定義する。
• 同調的部分多様体 $O \subset G$ 及びその引き戻し $\pi^*O \subset S^{\pi}_*M \rtimes G$ において循環コホモロジーを局所化し、インデックスペアリングを精緻化する。
• Wodzickiのトレースと固定点集合における非可換記号のジェットを用いたトレース公式を定義し、接続写像を表現する。
• 記号を作用素に持ち上げる連続線形分離写像 $\sigma: \mathscr{A} \to \mathscr{E}$ を構成し、トレース公式を用いてインデックスペアリングを計算する。
• 循環コサイクルの除去写像による像の明示的表現を導出し、$\mathrm{Res}$ および $[\ln Q, \sigma(a)]$ 項を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群ガロアによる非正規かつ非等長作用に関連するフーリエ積分作用素へのインデックス理論をどのように拡張できるか。
• RQ2 短完全列 $0 \to \mathscr{B} \to \mathscr{E} \to \mathscr{A} \to 0$ における周期的循環コホモロジーの接続写像の構造は何か。
• RQ3 除去写像 $E^*$ は幾何学的・解析的データの観点からどのように明示的に計算できるか。
• RQ4 固定点集合における非可換記号のジェットはインデックス公式において果たす役割は何か。
• RQ5 非可換記号の対数的トレースを含むWodzicki型のトレース公式によって、インデックスペアリングを表現できるか。

主な発見

• 周期的循環コホモロジーにおける接続写像 $E^*$ は、群ガロア作用の固定点集合における非可換記号のジェットを含むWodzicki型のトレース公式によって計算される。
• 除去写像はトレースペアリングとして表現される: $\pi^{!}_G(\varphi)((\natural(a_1 \otimes \cdots \otimes a_{n-1} \mathbf{d}a_n))) = \varphi \circ \mathrm{Res}(\sigma(a_1) \otimes \cdots \otimes [\ln Q, \sigma(a_n)] \cdots)$。
• 偶数次元クラス $[\varphi] \in HP^0_{\mathrm{top}}(C^\infty_c(B) \rtimes G)_{[O]}$ に対して、$\pi^{!}_G$ による像は、非可換記号のトレース公式を介して $\mathscr{A}$ 上の奇数次元循環コサイクルとして表される。
• 奇数次元クラス $[\varphi] \in HP^1_{\mathrm{top}}(C^\infty_c(B) \rtimes G)_{[O]}$ に対して、像は $\mathbf{d}\sigma(a_j)$ 項を含む反復トレースを伴う偶数次元循環コサイクルとして表される。
• インデックスペアリング $\langle [\tau_\varphi], \mathrm{Ind}_E([u]) \rangle$ は、$\varphi \circ \mathrm{Res} \sharp \mathrm{tr}(\sigma_*(\hat{u}^{-1})[\ln Q, \sigma_*(\hat{u})])$ として計算される。ここで $Q$ は正の楕円的位数1の擬微分作用素である。
• この公式により、作用が正規でも等長でもない場合でも、非可換記号 $u$ と $Q$ の対数的トレースを用いた、明示的かつ計算可能なインデックスペアリングの表現が得られる。