[論文レビュー] Local Index Theory for Lorentzian Manifolds

Christian Baer, Alexander Strohmaier|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2020

Advanced Operator Algebra Research被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、グローバルにハイパボリックな時空におけるローレンツ型ディラク作用素に対して、局所的インデックス公式を確立し、微小局所解析とハダマール展開を用いて、楕円型作用素に限らないインデックス理論を拡張する。主な貢献は、正定値内積や空間的ディラク作用素の自己共役性を仮定しない空間的コンパクトな時空におけるアティヤ＝パトディ＝サイモン境界条件付きの一般インデックス定理の確立である。

ABSTRACT

Index theory for Lorentzian Dirac operators is a young subject with significant differences to elliptic index theory. It is based on microlocal analysis instead of standard elliptic theory and one of the main features is that a nontrivial index is caused by topologically nontrivial dynamics rather than nontrivial topology of the base manifold. In this paper we establish a local index formula for Lorentzian Dirac-type operators on globally hyperbolic spacetimes. This local formula implies an index theorem for general Dirac-type operators on spatially compact spacetimes with Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions on Cauchy hypersurfaces. This is significantly more general than the previously known theorems that require the compatibility of the connection with Clifford multiplication and the spatial Dirac operator on the Cauchy hypersurface to be selfadjoint with respect to a positive definite inner product.

研究の動機と目的

• グローバルにハイパボリックな時空におけるローレンツ型ディラク作用素の局所的インデックス公式を構築し、標準的な楕円型インデックス理論の制限を超えること。
• スカラーマニフォールド上のベクターバンドルに正定値内積が存在しないという要件を排除することで、既存のローレンツ型インデックス定理を一般化すること。
• 空間的コンパクトな時空における一般ディラク型作用素のインデックス定理を、アティヤ＝パトディ＝サイモン境界条件のもとで確立すること。ただし、空間的ディラク作用素が正定値計量に関して自己共役でない場合でも成立すること。
• ウィック回転や変数分離が不可能な状況において、相対論的量子場理論やアノマリー（例えばチラル・アノマリー）へのインデックス理論の適用を拡張すること。
• 特異点の伝播とグリーン関数のハダマール展開を用いて、ローレンツ幾何におけるインデックス理論の厳密な微小局所的基礎を提供すること。

提案手法

• 遅延グリーン関数と先進グリーン関数の差のスーパートレースの漸近展開を通じて、局所的インデックス公式を導出する。
• ハダマールパラメトリクス技術を用いて、熱核およびグリーン関数の短時間挙動を計算し、局所的不変量を抽出する。
• 微小局所解析とヘルマンダーの特異点伝播定理を用いて、境界条件を伴うディラク作用素のフレドホルム性を確立する。
• ローレンツ的設定においてアティヤ＝パトディ＝サイモン境界条件を適用し、コーシー超曲面を特徴的なスペクトル射影を持つ境界として扱う。
• フェインマングリーン関数と境界寄与項を含む、洗練されたハダマール展開を導入し、解析接続に用いる $ ilde{C}(eta,n, u) $ および $ C(eta,n) $ 関数を統合する。
• 波フロント集合のトレースをとり、臨界次元におけるグリーン関数の $ eta $-正則化を用いて、局所的インデックス密度を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルにハイパボリックな時空におけるローレンツ型ディラク作用素に対して、楕円型の場合のアティヤ＝シンガー局所インデックス定理に類似した局所的インデックス公式を確立できるか？
• RQ2 空間的ディラク作用素が正定値内積に関して自己共役でない場合に、境界を持つ時空におけるインデックス定理をどのように拡張できるか？
• RQ3 微小局所解析とハダマール展開は、ローレンツ幾何における双曲型作用素のインデックス定義において、果たす役割は何か？
• RQ4 非楕円的設定におけるインデックス公式の境界寄与項は、$ ar{ heta} $-不変量および $ ilde{C}(eta,n, u) $ 関数とどのように関係しているか？
• RQ5 インデックス公式がベクターバンドル上の正定値計量の選択に依存しなくなるようにできるか。これにより、先行研究を一般化できるか？

主な発見

• 局所的インデックス公式は、遅延グリーン関数と先進グリーン関数の差のスーパートレースの漸近展開から導出され、分布的インデックス密度が得られる。
• インデックス公式には時間 $ t $ における対数的およびべき乗的発散が含まれ、$ ilde{C}(eta,n, u) $、$ C(eta,n) $ およびその導関数が $ eta = -n/2 $ における係数として現れる。
• 展開の主要項は、$ ext{tr}( abla_{(1)} ilde{D} ullet V_{rac{n-2}{2}}(0,y,0,y) ullet ot{n}_ ext{Σ}) imes rac{-i 2^{1-n} u^{-rac{n}{2}}}{(rac{n-2}{2})!} ig( ext{オイラー＝マスケローニ定数} + ext{log}|t| + ext{虚数シフト} ig) $ に比例し、非自明な力学的ダイナミクスを捉えている。
• 空間的ディラク作用素が正定値内積に関して自己共役でない場合でも、公式は有効であり、先行研究を一般化している。
• $ eta $-正則化によりインデックスが有限かつ適切に定義されることを示し、$ eta = -n/2 $ における $ ilde{C}(eta,n,2 u) $ の $ eta $-微分が $ t^{1-n} $ 項に寄与する。
• この結果は、正定値計量がベクターバンドル上に存在しない場合でも、空間的コンパクトな時空におけるアティヤ＝パトディ＝サイモン境界条件付きのグローバルインデックス定理が成り立つことを示唆している。