[論文レビュー] Local invariants of non-commutative tori

Fedor Sukochev, Dmitriy Zanin|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般の曲がった非可換トーラスに対して、漸近的熱跡展開を確立し、共形の場合を超えてミナクシスンドラマ・プレジェル定理を拡張する。局所的不変量を展開の係数として計算するためのアルゴリズムを提示し、ディラック作用素の代わりにラプラス＝ベルトラミ作用素を用いる。非可換幾何学におけるスカラー曲率および高階曲率不変量に関する先行研究を一般化する。

ABSTRACT

We consider a generic curved non-commutative torus extending the notion of conformally deformed non-commutative torus from \cite{Connes-Tretkoff}. In general, a curved non-commutative torus is no longer represented by a spectral triple, not even by a twisted spectral triple. Therefore, the geometry of this manifold is governed by a positive second order differential operator (Laplace-Betrami operator) rather than a first order differential operator (Dirac operator). For this manifold, we prove an asymptotic expansion of the heat semi-group generated by Laplace-Beltrami operator and provide an algorithm to compute the local invariants which appear as coefficients in the expansion. This allows to extend the results of \cite{Connes-Tretkoff}, \cite{Connes-Moscovici}, \cite{FaKh} (beyond conformal case and/or for multi-dimensional tori).

研究の動機と目的

• 一般の非平坦なリーマン計量を持つ非可換トーラスへのミナクシスンドラマ・プレジェル定理の一般化を目的とする。
• 曲がった非可換トーラス上でのラプラス＝ベルトラミ作用素の熱跡の漸近的展開の存在を確立すること。
• スペクトル三重項構造が存在しない状況においても、局所的不変量（熱展開の係数）を体系的に計算するためのアルゴリズム的手法を提供すること。
• 非可換幾何学におけるスカラー曲率および高階不変量に関する先行結果を、多次元かつ非共形的変形を受けるトーラスへと拡張すること。
• スペクトル三重項またはねじれスペクトル三重項構造が存在しない状況において、局所的不変量を熱跡展開を通じて定義すること。

提案手法

• 非可換トーラス上でのリーマン計量の幾何的実現として、正定値の2階微分作用素（ラプラス＝ベルトラミ作用素）を構成する。
• この作用素が生成する熱半群を用いて、熱核のトレースの漸近的展開を導出する。
• 局所的不変量 $ a_k(x) $ を、展開式 $ ext{Tr}( ho(x)e^{-t riangle_g}) \thicksim t^{-d/2} \text{sum} t^{k/2} a_k(x) $ の係数として定義する。ただし $ k $ は偶数。
• 元のトーラスをより高次元の非可換トーラスに埋め込むことで、解析接続を活用するための計量摂動 $ g' $ を用いた正則化手続きを導入する。
• 複素解析的技法、特に contour 積分と相関関数 $ \text{corr}_k(u,z) $ の正則性を用いて、異なる計量構造上のトレースを関連付ける。
• パーソン和公式とトレース恒等式を用いて、拡張された計量上の熱跡と元のものとの関係を確立し、係数の抽出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非共形的変形を受けるリーマン計量を持つ非可換トーラスに対して、ミナクシスンドラマ・プレジェルの漸近展開を拡張することは可能か？
• RQ2 スペクトル三重項構造が存在しない状況において、局所的不変量（熱跡展開の係数）を体系的に計算する方法は何か？
• RQ3 曲がった非可換トーラス上でのラプラス＝ベルトラミ作用素の熱跡展開の構造はいかなるものか？
• RQ4 係数 $ a_k(x) $ は非可換設定下でのスカラー曲率やリーマン曲率などの幾何的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 2次元の共形ケースに限らない、高次元非可換トーラスへの $ a_k(x) $ のアルゴリズム的計算は一般化可能か？

主な発見

• 一般の曲がった非可換トーラスに対して、熱跡 $ \text{Tr}(\rho(x)e^{-t\triangle_g}) $ の漸近的展開が存在し、係数 $ a_k(x) $ は局所的不変量に対応する。
• 係数 $ a_k(x) $ は $ a_k(x) = \tau(x \nu^{-1/2} I_k \nu^{1/2}) $ と与えられ、ここで $ I_k $ は計量テンソルから明示的に計算可能な関数型である。
• 本手法により、スカラー曲率（$ a_2 $）および高階不変量（$ a_4 $）に関する先行研究が、非共形的かつ多次元の非可換トーラスへと一般化される。
• 元のトーラスをより高次元の非可換トーラスに埋め込む摂動的議論により、熱跡展開が成立することが示される。これによりトレースの比較が可能になる。
• 拡張された計量上でのトレースは $ \text{Tr}(e^{-t\triangle}) = \left(\frac{\tau}{t}\right)^{(d'-d)/2}(1 + O(t^\nu)) $ を満たし、元の展開が高次の補正項まで回復可能である。
• 最終的な結果として、$ \text{Tr}(\rho(x)e^{-t\triangle_g}) \thicksim t^{-d/2} \text{sum}_{k \text{ even}} t^{k/2} \tau(x \nu^{-1/2} I_k \nu^{1/2}) $ が確認され、局所的不変量を完全に計算するためのアルゴリズムが得られる。