[論文レビュー] Local Invariants Vanishing on Stationary Horizons

Andrey A. Shoom|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ブラックホール時空における正則で特異点のない静的ホライズンを、局所的なスカラー多項式曲率不変量を用いて特定する手法を提案する。時空の共維度に等しい独立な曲率不変量の勾配を構成することで、それらの外積のノルムの二乗がホライズンにおいて正確に消失することを示し、数値相対論におけるホライズン検出の局所的で幾何的な基準を提供する。

ABSTRACT

For a general black hole spacetime, the location of its surface (the event horizon, which is the boundary of the region from which causal curves can go to asymptotic future null infinity) depends on the future evolution of the spacetime and is not determined locally. However, for black holes that settle down to become stationary, one might ask whether one can find a local invariant that is generically nonzero off the horizon but vanishes on the horizon. In particular, one might look for a scalar polynomial curvature invariant [1–6], which is a scalar obtained by complete contraction of all the indices of a polynomial in the Riemann curvature tensor and its covariant derivatives. For example, Anders Karlhede, Ulf Lindstrom and Jan Aman [7] showed that RRαβγδ;ǫ crosses zero and switches sign as one crosses the horizon of the Schwarzschild metric, and one can easily show that this is also true for any smooth static spherically symmetric horizon. An invariant that vanishes on more general stationary horizons could be useful in numerical relativity for finding the approximate location of the horizon once the spacetime has settled down to become approximately stationary. Majd Abdelqader and Kayll Lake [8] have recently found a local scalar polynomial curvature invariant that vanishes at the horizon of the Kerr black hole. After casting this invariant into a simpler form that is proportional to the squared norm of the wedge product of two curvature-invariant gradients, we realized that the procedure generalizes to give a way to locate any nonsingular stationary horizon in terms of a local curvature invariant. Essentially, if one constructs as many gradients of independent curvature invariants as the cohomogeneity of a stationary spacetime, at a generic point in the spacetime these gradients will be linearly independent and spacelike, but at an horizon, a linear combination will become null. This implies that the squared norm of the wedge product of the gradients will vanish at a stationary horizon. Abdelqader and Lake [8] give the following six curvature invariants for the Kerr metric, which we here copy

研究の動機と目的

• 局所的なスカラー多項式曲率不変量が、静的ホライズン上で消失するが、ホライズン外では非ゼロとなるようなものが構成可能かどうかを特定すること。
• イベントホライズンが未来の時空発展に依存する非局所的対象であるため、数値シミュレーションで容易に特定できないという課題に対処すること。
• シュヴァルツシルト解やカー解といった既存の結果を、任意の静的時空に適用可能な統一的枠組みへ一般化すること。
• 数値相対論におけるホライズン検出に適した、局所的で幾何的かつ計算可能である基準を、曲率不変量を用いて提供すること。

提案手法

• 静的時空の共維度に等しい数のスカラー多項式曲率不変量の集合を構成する。
• 時空の一般点におけるこれらの不変量の勾配を計算し、一般に線形独立で空間的であることを確認する。
• これらの勾配1形式の外積を作成し、そのノルムの二乗をスカラー不変量として計算する。
• このノルムの二乗が、勾配の線形結合が光円錐的（null）となるホライズンにおいて正確に消失することを示す。
• 既知の例（例：カー計量）に対してこの手法を適用し、不変量を外積ノルムの二乗に比例する形に簡略化することを示す。
• 特異点のない任意の静的時空へこの構成を一般化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 静的ホライズン上で正確に消失するが、ホライズン外では非ゼロとなるような局所的スカラー多項式曲率不変量を構成可能か？
• RQ2 一般の時空点とは対照的に、静的ホライズン付近における曲率不変量勾配の幾何的挙動はどのように変化するか？
• RQ3 因果的構造のグローバルな性質に依存せずに、曲率不変量のみを用いてホライズンを体系的に特定する方法はあるか？
• RQ4 時空の共維度とホライズン検出に必要な曲率不変量の数の関係は何か？
• RQ5 カー解やシュヴァルツシルト解といった既知の解にとどまらず、任意の静的時空へこの手法を一般化可能か？

主な発見

• 任意の特異点のない静的時空のホライズンにおいて、曲率不変量勾配の外積のノルムの二乗が消失することを示した。
• ホライズン外の一般点では、曲率不変量の勾配が一般に線形独立で空間的であり、不変量が非ゼロとなることを保証する。
• ホライズン上では、これらの勾配の線形結合が光円錐的（null）となるため、外積ノルムが消失する。
• この手法は、既知のカー黑洞における結果を一般化しており、特定の曲率不変量がホライズンで消失することを示した。
• この構成は、計量の具体的な形に依存せず、有限の共維度を持つ任意の静的時空に適用可能である。
• 本手法は、数値相対論のシミュレーションにおいて、局所的で幾何的かつ計算可能であるホライズン検出基準を提供する。