[論文レビュー] Local $L^p$-Brunn-Minkowski inequalities for $p < 1$

Kolesnikov Alexander, Emanuel Milman|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 51被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ 内の滑らかで原点対称の凸体の枠組みにおいて、$p < 1$ の $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式の局所的成立を確立し、古典的な Brunn-Minkowski 不等式の局所的強化が $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ の範囲で予想通りに成立することを確認した。主な結果は、Hilbert–Brunn–Minkowski 演算子に関連するスペクトルギャップ最小化問題であり、これは偶関数 $L^p$-Minkowski 問題における局所的一意性と、Brunn-Minkowski 不等式および等周不等式の改善された安定性推定を可能にする。

ABSTRACT

The $L^p$-Brunn-Minkowski theory for $p\geq 1$, proposed by Firey and developed by Lutwak in the 90's, replaces the Minkowski addition of convex sets by its $L^p$ counterpart, in which the support functions are added in $L^p$-norm. Recently, Böröczky, Lutwak, Yang and Zhang have proposed to extend this theory further to encompass the range $p \in [0,1)$. In particular, they conjectured an $L^p$-Brunn-Minkowski inequality for origin-symmetric convex bodies in that range, which constitutes a strengthening of the classical Brunn-Minkowski inequality. Our main result confirms this conjecture locally for all (smooth) origin-symmetric convex bodies in $\mathbb{R}^n$ and $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}},1)$. In addition, we confirm the local log-Brunn--Minkowski conjecture (the case $p=0$) for small-enough $C^2$-perturbations of the unit-ball of $\ell_q^n$ for $q \geq 2$, when the dimension $n$ is sufficiently large, as well as for the cube, which we show is the conjectural extremal case. For unit-balls of $\ell_q^n$ with $q \in [1,2)$, we confirm an analogous result for $p=c \in (0,1)$, a universal constant. It turns out that the local version of these conjectures is equivalent to a minimization problem for a spectral-gap parameter associated with a certain differential operator, introduced by Hilbert (under different normalization) in his proof of the Brunn-Minkowski inequality. As applications, we obtain local uniqueness results in the even $L^p$-Minkowski problem, as well as improved stability estimates in the Brunn-Minkowski and anisotropic isoperimetric inequalities.

研究の動機と目的

• 滑らかで原点対称の凸体の枠組みにおいて、$p < 1$ の局所的 $L^p$-Brunn-Minkowski 予想を解明すること。
• $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ の範囲で、偶関数 $L^p$-Minkowski 問題における局所的一意性結果を確立すること。
• スペクトル法を用いて、Brunn-Minkowski 不等式および異方的等周不等式の改善された安定性推定を導出すること。
• Reilly の公式を通じて、$L^p$-Brunn-Minkowski 不等式と Hilbert–Brunn–Minkowski 演算子のスペクトルギャップを結びつけること。

提案手法

• 凸体の境界上で Hilbert–Brunn–Minkowski 演算子を含むスペクトル最小化問題として、局所的 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式を定式化する。
• Reilly の公式を用いて、ポテンシャル関数のヘッセ行列の $L^2$-ノルムを推定することで、局所不等式の十分条件を導出する。
• 第二スティルチェフ作用素を適用し、ユークリッド球 $B_2^n$ における作用を計算することで、基準的な推定値を得る。
• $C^2$-位相におけるスペクトルギャップ関数 $B_H(K)$ の連続性を確立し、球からの近傍にある凸体へ結果を拡張する。
• 最適輸送と幾何的不等式（AM-GM およびコーシー・シュワルツ）を用いて、凸体の非対称性を $L^p$-Brunn-Minkowski の欠陥と関連付ける。
• KLS 予想と既知のチェーバー定数の境界を活用し、スペクトルギャップを制御し、次元依存の安定性推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで原点対称の凸体において、$p < 1$ の $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式は局所的に成立するか？
• RQ2 高次元における $q \geq 2$ の $\ell_q^n$-球の $C^2$-小領域の摂動において、局所的対数 Brunn-Minkowski 予想（$p=0$）は確認できるか？
• RQ3 無条件凸体の中で、局所的対数 Brunn-Minkowski 不等式の極値例として立方体が成立するか？
• RQ4 Hilbert–Brunn–Minkowski 演算子のスペクトルギャップは、局所的 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式を特徴付けるために用いられるか？
• RQ5 分散と非対称性の観点から、Brunn-Minkowski 不等式および等周不等式の鋭い安定性推定は何か？

主な発見

• 滑らかで原点対称の凸体に対して、すべての $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ の範囲で局所的 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式が成立することが確認された。
• $n$ が十分に大きいとき、$q \geq 2$ の $\ell_q^n$-球の $C^2$-小摂動において、局所的対数 Brunn-Minkowski 予想が正当化された。
• 無条件凸体の中で、局所的対数 Brunn-Minkowski 不等式の極値例として立方体が確認された。
• $q \in [1,2)$ の $\ell_q^n$-球に対しては、$p = c \in (0,1)$ の範囲で局所的 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式が成立し、これは普遍的定数である。
• Brunn-Minkowski 不等式および異方的等周不等式の改善された安定性推定が得られ、KLS 予想のもとで欠陥が $C(n) \leq C n^{5/4}$ で有界であることが示された。
• $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ の範囲で、偶関数 $L^p$-Minkowski 問題の解に対して局所的一意性が確立された。