[論文レビュー] Local law and complete eigenvector delocalization for supercritical Erd\H{o}s-R\'enyi graphs.

Yukun He, Antti Knowles+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、普遍定数 $C$ に対して $pN = C\log N$ の臨界スケールまで、超臨界 Erdōs-Rényi ランダムグラフの隣接行列に対する局所法則と完全な固有ベクトルの局所化解除を確立する。著者らは、$\ell^2$ と $\ell^\infty$ ノルムを組み合わせた組み合わせ的要因とバランスをとるスパースなランダムベクトルに対する新規な多項式大偏差推定式を導入し、非常にスパースな領域における強い集中不等式を可能にした。これにより、局所法則と固有ベクトルの局所化解除を証明する上で不可欠な境界を得ることができ、従来の結果が $pN \gtrsim (\log N)^6$ を要していたのを上回る。主な貢献は、臨界接続閾値まで、初めての局所法と完全な局所化解除の結果を得たことである。

ABSTRACT

We prove a local law for the adjacency matrix of the Erd\H{o}s-R\'enyi graph $G(N, p)$ in the supercritical regime $ pN \geq C\log N$ where $G(N,p)$ has with high probability no isolated vertices. In the same regime, we also prove the complete delocalization of the eigenvectors. Both results are false in the complementary subcritical regime. Our result improves the corresponding results from [11] by extending them all the way down to the critical scale $pN = O(\log N)$. A key ingredient of our proof is a new family of multilinear large deviation estimates for sparse random vectors, which carefully balance mixed $\ell^2$ and $\ell^\infty$ norms of the coefficients with combinatorial factors, allowing us to prove strong enough concentration down to the critical scale $pN = O(\log N)$. These estimates are of independent interest and we expect them to be more generally useful in the analysis of very sparse random matrices.

研究の動機と目的

• 超臨界領域 $pN \geq C\log N$ における Erdōs-Rényi ランダムグラフ $G(N,p)$ の隣接行列に対する局所法を確立し、$pN \gtrsim (\log N)^6$ を要件としていた従来の結果を拡張する。
• 完全な固有ベクトルの局所化解除を証明し、高確率で $\|u_i\|_\infty \lesssim N^{-1/2}$ が成り立つことを示し、臨界スケール $pN = C\log N$ まで拡張する。
• スパースなランダムベクトルに対する新しい多項式大偏差推定式の族を構築し、係数の $\ell^2$ と $\ell^\infty$ ノルムの最適なバランスに加え、組み合わせ的要因を組み合わせ、非常にスパースな領域における集中不等式を可能にする。
• 局所法と固有ベクトルの局所化解除が、孤立頂点が局所化された固有ベクトルとマクロな数のゼロ固有値を生じるため、劣臨界領域 $pN \leq (1-\varepsilon)\log N$ で失敗することを示す。

提案手法

• Schur補行列式を用いて、$A$ を $G(N,p)$ のスケーリング済み隣接行列とするとき、グリーン関数 $G(z) = (A - z)^{-1}$ の自己無撞着方程式を導出する。
• スペクトルスケール $\eta$ におけるブートストラップ論法を用い、より大きなスケールからより小さなスケール $\eta \sim N^{-1}$ へと局所法推定値を伝搬する。
• スパースなランダムベクトルに対する新しい多項式大偏差推定式の族を導入し、係数の混合 $\ell^2$ と $\ell^\infty$ ノルムに依存する形で、$\sum_{i \neq j} a_{ij} X_i X_j$ のような式を制御する。$pN$ に明示的な依存関係を含む。
• Chebyshevの不等式を用いて、$r = \log N$ を用いて誤差確率を制御し、任意の固定 $D > 0$ に対して $N^{-D}$ の誤差境界を達成する。これは高確率的記述に不可欠である。
• グリーン関数の $N^2$ 個の成分に対する和集合を用い、大偏差推定式と組み合わせて、最大偏差 $\max_{i,j} |G_{ij}(z) - \delta_{ij} m(z)|$ を制御する。
• スケール依存の誤差項 $\zeta$ に依存する $\eta$, $pN$, $N$ を用い、$\max_{i,j} |G_{ij}(z) - \delta_{ij} m(z)| \lesssim \zeta$ が高確率で成り立つことを示すことにより、局所法を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Erdōs-Rényi グラフの隣接行列に対する局所法は、臨界スケール $pN = C\log N$ まで拡張可能か？
• RQ2 超臨界 Erdōs-Rényi グラフにおいて、臨界閾値 $pN = C\log N$ で完全な固有ベクトルの局所化解除、すなわち $\|u_i\|_\infty \lesssim N^{-1/2}$ が成立するか？
• RQ3 標準的な境界が失敗する非常にスパースな領域 $pN = O(\log N)$ を扱えるように、スパースなランダムベクトルの大偏差推定式をどのように洗練できるか？
• RQ4 なぜ局所法と固有ベクトルの局所化解除は劣臨界領域 $pN \leq (1-\varepsilon)\log N$ で失敗するのか？
• RQ5 局所法の誤差境界のスパarsityパラメータ $pN$ に対する最適依存関係は何か？

主な発見

• スケーリング済み隣接行列 $A$ に対して、臨界スケール $pN = C\log N$ まで局所法が成り立つ。$\eta \gg N^{-1}$ に対して、高確率で $\max_{i,j} |G_{ij}(z) - \delta_{ij} m(z)| \lesssim \zeta$ が成り立ち、$\zeta$ は $\eta$, $pN$, $N$ に依存するスケール依存誤差項である。
• 完全な固有ベクトルの局所化解除が証明された：超臨界領域 $pN \geq C\log N$ において、高確率で $\max_i \|u_i\|_\infty \lesssim N^{-1/2}$ が成り立つ。
• 劣臨界領域 $pN \leq (1-\varepsilon)\log N$ では、局所法と固有ベクトルの局所化解除が失敗する。孤立頂点が局所化された固有ベクトル $\|u_i\|_\infty = 1$ を生じさせ、マクロな数のゼロ固有値が存在する。
• 著者らは、スパースなランダムベクトルに対する新しい多項式大偏差推定式の族を構築した。この推定式は、$\left\| \sum_{i \neq j} a_{ij} X_i X_j \right\|_r$ を $\gamma = \left( \max_i \frac{1}{N} \sum_j |a_{ij}|^2 \right)^{1/2}$ と $\psi = \max_{i,j} \frac{|a_{ij}|}{\sqrt{pN}}$ の関数として制御し、$pN$ に最適な依存関係を達成し、$O(\log N)$ まで拡張可能である。
• 大偏差推定式に $r = \log N$ を用い、$N^2$ 項の和集合を取ることで、任意の固定 $D > 0$ に対して誤差確率 $N^{-D}$ の高確率境界を達成した。
• この結果は、$pN \geq C\log N$ の仮定を改善できないという意味で最適である。なぜなら、$pN \leq (1-\varepsilon)\log N$ では局所法と局所化解除が失敗するからである。