[論文レビュー] Local Lipschitz continuity in the initial value and strong completeness for nonlinear stochastic differential equations

Sonja Cox, Martin Hutzenthaler+1 more|Zenodo (CERN European Organization for Nuclear Research)|Sep 22, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非線形確率微分方程式（SDE）のドリフト項および拡散項に対して、初期値における強い$L^p$-意味での局所リプシッツ連続性を保証する十分条件を確立する。リプシッツ定数の明示的かつ計算可能な上限を提供し、それらを用いて、ストキャスティック・ヴァン・デル・ポール振動子、カーン＝ヒリャール・クック方程式、ストキャスティック・バーガース方程式を含むさまざまなSDEの強い完全性を証明する。

ABSTRACT

Recently, Hairer et. al (2012) showed that there exist SDEs with infinitely often differentiable and globally bounded coefficient functions whose solutions fail to be locally Lipschitz continuous in the strong L^p-sense with respect to the initial value for every p \in [1,\infty). In this article we provide sufficient conditions on the coefficient functions of the SDE and on p \in (0,\infty] which ensure local Lipschitz continuity in the strong L^p-sense with respect to the initial value and we establish explicit estimates for the local Lipschitz continuity constants. In particular, we prove local Lipschitz continuity in the initial value for several nonlinear SDEs from the literature such as the stochastic van der Pol oscillator, Brownian dynamics, the Cox-Ingersoll-Ross processes and the Cahn-Hilliard-Cook equation. As an application of our estimates, we obtain strong completeness for several nonlinear SDEs.

研究の動機と目的

• 非線形SDEの初期値における強い$L^p$-意味での局所リプシッツ連続性を保証するドリフト項および拡散項に関する十分条件を同定すること。
• 解写像の初期値に関する局所リプシッツ定数の明示的かつ計算可能な上界を導出すること。
• グローバルな単調性を満たさないSDEおよびSPDEを含む広範な非線形SDEおよびSPDEクラスに対して強い完全性を確立すること。
• ストキャスティック常微分方程式およびストキャスティック偏微分方程式の両方の分野に分析を拡張し、数学的物理学およびファイナンス分野のモデルを含むこと。
• 初期値における安定性および正則性を分析するための、リャプノフ型関数および拡張された生成作用素に基づく一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 異なる初期値から出発する2つの解軌道の差のダイナミクスを分析するために、拡張された生成作用素およびノイズ作用素の枠組みを用いる。
• 差過程$X_t^x - X_t^y$の$L^p$-ノルムの成長を制御するために、リャプノフ型関数$V$を適用する。
• モーメント推定およびコルモゴロフ・チェントソフ連続性基準を用いて、解の指数的可積分性の上限を導出する。
• パスワイズおよびモーメントベースの正則性を制御するための2段階の安定性解析（局所的および一様な強い安定性）を採用する。
• パスワイズ連続性およびモーメントの上限を確立するために、一般化されたコルモゴロフ・チェントソフ定理を適用する。
• ガラーキン近似および収束議論を用いて、有限次元から無限次元SPDE（例えば、カーン＝ヒリャール・クック方程式やストキャスティック波動方程式）への結果の拡張を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト項および拡散項にどのような条件下で、解写像$x \mapsto X_t^x$がすべての$p \in (0, \infty]$に対して強い$L^p$-意味で初期値において局所リプシッツ連続となるか？
• RQ2 解写像の$L^p$-ノルムにおける局所リプシッツ定数に対して、明示的かつ計算可能な上限を導出可能か？
• RQ3 提案された枠組みは、グローバル単調性やグローバルリプシッツ条件を満たさない非線形SDEおよびSPDEに対しても、強い完全性を保証するか？
• RQ4 リャプノフ型関数および拡張された生成作用素は、2つの解軌道の差の$L^p$-ノルムをどのように制御できるか？
• RQ5 結果は、カーン＝ヒリャール・クック方程式やストキャスティック・バーガース方程式のようなSPDEに、どの程度まで拡張可能か？

主な発見

• ドリフト項$\mu$および拡散項$\sigma$にやや厳しい条件が課せられる場合、すべての$t, p \in (0, \infty)$に対して、解写像$x \mapsto X_t^x$が局所$L^p$-リプシッツ連続であることを本稿は確立し、リプシッツ定数の明示的上限を提供する。
• ストキャスティック・ヴァン・デル・ポール振動子、カーン＝ヒリャール・クック方程式、ストキャスティック・バーガース方程式に対して、初期値における局所$L^p$-リプシッツ連続性を示す明示的推定値を導出する。
• 差$\|X_t^x - X_t^y\|_{L^p} \leq \varphi_{t,p}(x,y) \|x - y\|$の上限が成り立ち、$\varphi_{t,p}(x,y)$は明示的に計算可能である。カーン＝ヒリャール・クック方程式では、この上限は$\kappa(r_q)$、$|D|$、および$\varsigma^2$に依存する。
• 強い完全性は、ストキャスティック・ダフィング＝ヴァン・デル・ポール振動子やストキャスティックSIRモデルを含む、いくつかの非線形SDEに対して、必要なモーメントおよびパスワイズ正則性を満たすことで証明される。
• トレースクラスノイズを伴うカーン＝ヒリャール・クック方程式に対して、$\left\| \sup_{t \in [0,T]} \|X_t^{x,n} - X_t^{y,n}\|_H \right\|_{L^r} \leq \frac{\|x-y\|_H}{\sqrt{1 - 2/p}} \exp(\cdots)$の形の上限が導出され、$T$、$\eta$、$\varsigma^2$、および$U(x) + U(y)$に明示的な依存関係を示す。
• 初期データおよびノイズ作用素に適切な正則性および台の仮定が課せられる場合、加法的ノイズを伴うSPDE（例えば、ストキャスティック波動方程式）に対しても、この枠組みが適用可能である。