[論文レビュー] Local means and atoms in vector-valued function spaces

Benjamin Scharf|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素Banach空間 $E$ 値をとる関数への一般化により、スカラー値関数に適用可能な原子およびクォークによる分解を、ベクトル値Besov空間 $B_{p,q}^s(E)$ およびTriebel-Lizorkin空間 $F_{p,q}^s(E)$ に拡張する。$f \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n, E)$ がこれらの空間に属するための必要十分条件として、特定の重み付き $\ell^{p,q}$-ノルム条件を満たす係数を有する収束級数への分解を有することが示され、そのノルムは係数の下界による制御によって同値となることが明らかになった。

ABSTRACT

The first part of this paper deals with the topic of finding equivalent norms and characterizations for vector-valued Besov and Triebel-Lizorkin spaces. We will deduce general criteria by transferring and extending a theorem of Bui, Paluszynski and Taibleson from the scalar to the vector-valued case. By using special norms and characterizations we will derive necessary and sufficient conditions for belonging to a vector-valued function spaces. It will be shown that an element of the Schwartz space belongs to a function space if and only if it can be written as a linear combination of harmonic atoms resp. quarks with suitable conditions for the coefficients.

研究の動機と目的

• 複素Banach空間 $E$ 値をとる関数空間への原子および準原子（クォーク）分解のスカラー値関数への拡張。
• Bui, Paluszyński, Taiblesonの定理のベクトル値版を、既存の文献におけるギャップを埋める形で、厳密かつ詳細に証明すること。
• 局所平均と原子／クォーク表現を用いて、$B_{p,q}^s(E)$ および $F_{p,q}^s(E)$ への属するための必要十分条件を導出すること。
• 重み付き $\ell^{p,q}$-空間における係数列の下界を用いて、これらの関数空間の同値ノルムを確立すること。

提案手法

• Banach空間値関数空間における双対性および可測選択の議論を用いて、Bui, Paluszyński, Taiblesonのスカラー値定理をベクトル値設定に拡張する。
• $(M,p)_{K,L}$-原子および $(s,p)_{L}$-クォークを、$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n, E)$ 内の、滑らかで compact な台を持つ関数として定義し、零モーメントおよび滑らかさ条件を満たすようにする。
• 局所平均を用いて、$L_p(E)$-ノルムにおける最大関数および最大作用素の点ごとの制御を通じて、関数空間への属する条件を特徴付ける。
• 係数を $\ell^{p,q}$-列にとり、$2^{\mu|\gamma|}$ で重みづけた原子およびクォークの級数として分布を表現することにより、原子およびクォーク分解を構成する。
• 係数列の重み付き $\ell^{p,q}$-ノルムの下界が、元の関数空間ノルムと同値であることを示すことにより、ノルムの同値性を確立する。
• Hardy-Littlewood最大作用素の有界性およびBochner積分の性質を活用し、$L_p(E)$-ノルムを制御し、$\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n, E)$ 内での収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー値関数空間における原子およびクォーク分解は、複素Banach空間 $E$ 値をとるベクトル値関数空間へと拡張可能か？
• RQ2 分布 $f \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n, E)$ が $B_{p,q}^s(E)$ や $F_{p,q}^s(E)$ に属するための、原子およびクォークに必要な正確な条件は何か？
• RQ3 重み付き $\ell^{p,q}$-空間における係数列の下界を用いて、ベクトル値関数空間の同値ノルムをどのように特徴付けることができるか？
• RQ4 滑らかさパrameter $s$、可積分性 $p$、summability $q$ は、原子およびクォークに必要なモーメントおよび滑らかさ条件にどのように寄与するか？
• RQ5 $M$, $K$, $L$, $\mu$ の条件は、原子およびクォーク分解の有効性にどのように影響するか？

主な発見

• 分布 $f \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n, E)$ が $B_{p,q}^s(E)$ に属するための必要十分条件は、$(M,p)_{K,-1}$-原子および $(s,p)_{K,L}$-クォークの和として表現可能であり、係数が $\sup_{\gamma} 2^{\mu|\gamma|}(\|\varrho^\gamma|b_{p,q}\| + \|\lambda^\gamma|b_{p,q}\|) < \infty$ を満たす（十分大きな $\mu$ に対して）。
• $f$ の $B_{p,q}^s(E)$ 内のノルムは、そのようなすべての表現における係数列の重み付き $\ell^{p,q}$-ノルムの下界と同値である。
• $F_{p,q}^s(E)$ に対しても、同じ係数条件を満たす $(M,p)_{K,-1}$-原子および $(s,p)_{K,L}$-クォークによる表現が可能であり、同様にノルムの同値性が成り立つ。
• 原子およびクォークに必要な滑らかさおよびモーメント条件は、$B_{p,q}^s(E)$ に対して $M > \sigma_p$, $K \geq \lfloor s \rfloor + 1$, $L \geq \lfloor \sigma_p - s \rfloor$ であり、$F_{p,q}^s(E)$ に対しては $M > \sigma_{p,q}$, $K \geq \lfloor s \rfloor + 1$, $L \geq \lfloor \sigma_{p,q} - s \rfloor$ で決定される。
• クォークに基づく分解が有効であることは、$(s,p)_{L}$-クォークがすべての $K \in \mathbb{N}_0$ に対して $(s,p)_{K,L}$-原子としても成立することを示すことにより、一般の原子表現の構成が可能であると証明された。
• ノルムの同値性は、最大作用素の有界性およびBochner積分の性質を用いて確立され、$\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n, E)$ 内での収束および $L_p(E)$-ノルムの制御が保証された。