[論文レビュー] Local mixing and invariant measures for horospherical subgroups on abelian covers

Hee Oh, Wenyu Pan|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 55被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、閉じた双曲的3次元多様体のアーベル被覆におけるフレームフローの局所混合性を確立し、$G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$、$\Gamma_0 < G$ が凸コンパクトかつザリスキ密であり、$\Gamma \triangleleft \Gamma_0$ が $\Gamma_0/\Gamma \cong \mathbb{Z}^d$ を満たす正規部分群であるとき、$\Gamma\backslash G$ 上の $H$-不変測度を分類する。主な結果は、臨界指数 $\delta$ と $d$ 次元体積成長を含む正規化を伴う、閉じた測地線およびホロノミーの正確な漸近的数え上げ公式と、等分布性である。

ABSTRACT

Abelian covers of hyperbolic $3$-manifolds are ubiquitous. We prove the local mixing theorem of the frame flow for abelian covers of closed hyperbolic $3$-manifolds. We obtain a classification theorem for measures invariant under the horospherical subgroup. We also describe applications to the prime geodesic theorem as well as to other counting and equidistribution problems. Our results are proved for any abelian cover of a homogeneous space $Γ_0\backslash G$ where $G$ is a rank one simple Lie group and $Γ_0

研究の動機と目的

• 閉じた双曲的3次元多様体のアーベル被覆におけるフレームフローの局所混合性を確立する。強混合性は無限体積のため失敗する。
• ホロスフィカル部分群 $H$ に対する $\Gamma\backslash G$ 上の $H$-不変Radon測度を分類する。Babillot, Ledrappier, Sarig の結果を拡張する。
• $\Gamma$ が凸コンパクト格子 $\Gamma_0$ の正規 $\mathbb{Z}^d$-被覆であるとき、閉じた測地線の漸近的数え上げ公式と $\Gamma\backslash G$ 上でのホロノミーの等分布性を導出する。
• 結果を素測地線定理および双曲幾何学と数論における他の数え上げおよび等分布問題に応用する。

提案手法

• 一様群 $a_t$ による右移動を用いて、正規化された測度族 $\mu_t$ を定義し、$\alpha(t) \sim t^{d/2} e^{-\delta t}$ でスケーリングした後の弱収束を分析する。
• パトリック＝サリバン測度と極限集合の幾何学を用いて、$\Gamma\backslash G$ 上の極限Radon測度 $\mathsf{m}$ を構成し、フローに沿って $e^{\delta t} t^{d/2}$ の割合で密度が増加するようにする。
• Iwasawa分解 $G = H A^+ K$ を用いて、極限測度 $\mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}$ を $A^+K$ 上の積分として表現し、$H$-不変測度と極限集合上の $\delta$ 次元Hausdorff測度を用いる。
• 集合族 $\{B_T\}$ が $\mathcal{M}(B_T) \to \infty$ かつ $B_{T,\epsilon}^+ \setminus B_{T,\epsilon}^-$ の相対的測度が消えるように、$H\backslash G$ で「よく整った族（well-rounded family）」の概念を導入し、等分布性を保証する。
• $\Gamma$-軌道の円および閉じた測地線の数え上げを、$\mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}(B_T)$ の成長と関連づけ、スペクトルギャップと行列係数の減衰を用いて等分布性を証明する。
• 局所混合性を応用して、閉じた測地線とそのホロノミー類の共同等分布性を導出し、密度が $e^{\delta T}/(T^{d/2} \delta)$ に比例することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた双曲的3次元多様体のアーベル被覆におけるフレームフローは、無限体積のため強混合性が失敗するにもかかわらず、局所混合性を示すか？
• RQ2 $\Gamma$ が凸コンパクト格子 $\Gamma_0$ の正規 $\mathbb{Z}^d$-被覆であるとき、ホロスフィカル部分群 $H$ に対する $\Gamma\backslash G$ 上の $H$-不変Radon測度の構造は何か？
• RQ3 臨界指数 $\delta$ とランク $d$ に明示的な依存関係を持つ、このような被覆における長さ $\leq T$ の閉じた測地線の数の漸近的数え上げ公式を得られるか？
• RQ4 閉じた測地線のホロノミーは、コンact双対空間 $M^\textsc{c}$ でどのように等分布するか？収束速度は何か？
• RQ5 $\mathbb{Z}^d$-被覆における複素平面内の円の $\Gamma$-軌道の漸近的分布は何か？極限集合のHausdorff測度とどのように関係するか？

主な発見

• 任意のアーベル被覆 $\Gamma\backslash G$ において、凸コンパクトかつザリスキ密な格子 $\Gamma_0 < G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ に対して、局所混合性が成り立つ。スケーリング関数は $\alpha(t) \sim t^{d/2} e^{-\delta t}$ であり、$\Gamma\backslash G$ 上に極限測度 $\mathsf{m}$ が存在する。
• $\Gamma\backslash\tilde{X}$ 内の長さ $\leq T$ の閉じた測地線の数は、$\#\mathcal{G}_\Gamma(T) \sim \frac{e^{\delta T}}{(2\pi\sigma)^{2/d} \delta T^{d/2}} \cdot \mathsf{m}^{\operatorname{BMS}}(\psi) \cdot \int_M \xi \, dm$ を満たし、$d$ と $\delta$ に明示的な依存関係を持つ。
• 閉じた測地線とそのホロノミー類の共同等分布性が確立された。$\Gamma\backslash G/M \times M^\textsc{c}$ 上の数え上げ測度 $\mu_T$ は、密度 $\sim e^{\delta T}/(T^{d/2} \delta)$ の積測度に収束する。
• $\Gamma$-軌道の円 $C_0$ が円の空間に離散的像を持つ場合、曲率 $\leq T$ であるコンパクト集合 $E$ と交差する円の数は、$c \cdot T^\delta / (\log T)^{d/2} \cdot \operatorname{H}^\delta(E)$ のように増加する。ここで $\operatorname{H}^\delta$ は極限集合の $\delta$ 次元Hausdorff測度である。
• $H\backslash G$ 上の測度 $\mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}$ は、コンパクト集合上で適切に定義され、有限であり、$e^{\delta t} t^{d/2}$ と極限集合上の $\delta$-Hausdorff測度を含む明示的な積分公式を持つ。
• $\{B_T\}$ の「よく整った」性質により、$\#\Gamma \cap B_T \sim \mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}(B_T)$ が成り立ち、$H\backslash G$ 上の数え上げに対して正確な漸近的評価が得られる。