[論文レビュー] Local moves on knots and products of knots II

Louis H. Kauffman, Eiji Ogasa|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$m \geq 4$ のとき、単純な球面的 $2m$-紐結び目からHopfリンクとの積をとる写像が、$\mathcal{S}_{2m}$ から $\mathcal{S}_{2m+4}$ への全単射であることを確立し、局所的移動—特にパス移動—が紐結びの積構成と可換であることを証明している。さらに、トーラスリンクのパス同値性が、関連するBrieskorn多様体の微分同相型を意味することを示しており、2-紐結びにおけるリボン移動が、Hopfリンクを介した高次元積構成により、対応するパス移動を誘導することも示している。

ABSTRACT

We use the terms, knot product and local move, as defined in the text of the paper. Let $n$ be an integer$\geqq3$. Let $\mathcal S_n$ be the set of simple spherical $n$-knots in $S^{n+2}$. Let $m$ be an integer$\geqq4$. We prove that the map $j:\mathcal S_{2m} o\mathcal S_{2m+4}$ is bijective, where $j(K)=K\otimes$Hopf, and Hopf denotes the Hopf link. Let $J$ and $K$ be 1-links in $S^3$. Suppose that $J$ is obtained from $K$ by a single pass-move, which is a local-move on 1-links. Let $k$ be a positive integer. Let $P\otimes^kQ$ denote the knot product $P\otimes\underbrace{Q\otimes...\otimes Q}_k$. We prove the following: The $(4k+1)$-dimensional submanifold $J\otimes^k{ m Hopf}$ $\subset S^{4k+3}$ is obtained from $K\otimes^k{ m Hopf}$ by a single $(2k+1,2k+1)$-pass-move, which is a local-move on $(4k+1)$-submanifolds contained in $S^{4k+3}$. See the body of the paper for the definitions of all local moves in this abstract. We prove the following: Let $a,b,a',b'$ and $k$ be positive integers. If the $(a,b)$ torus link is pass-move equivalent to the $(a',b')$ torus link, then the Brieskorn manifold $Σ(a,b,\underbrace{2,...,2}_{2k})$ is diffeomorphic to $Σ(a',b',\underbrace{2,...,2}_{2k})$ as abstract manifolds. Let $J$ and $K$ be (not necessarily connected or spherical) 2-dimensional closed oriented submanifolds in $S^4$. Suppose that $J$ is obtained from $K$ by a single ribbon-move, which is a local-move on 2-dimensional submanifolds contained in $S^4$. Let $k$ be an integer$\geq2$. We prove the following: The $(4k+2)$-submanifold $J\otimes^k{ m Hopf}$ $\subset S^{4k+4}$ is obtained from $K\otimes^k{ m Hopf}$ by a single $(2k+1,2k+2)$-pass-move, which is a local-move on $(4k+2)$-dimensional submanifolds contained in $S^{4k+4}$.

研究の動機と目的

• 高次元紐結び理論におけるHopfリンクを含む紐結び積構成と、局所的移動（たとえばパス移動やリボン移動）との整合性を調査すること。
• Hopfリンクとの積をとる操作が、局所的移動の下でパス同値性などの同値関係を保存するかどうかを特定すること。
• 高次元において、古典的トーラスリンクのパス同値性と関連するBrieskorn多様体の微分同相型との対応関係を確立すること。
• Seifert-Farberホモトピー対が、特にSeifert超曲面のススペンションに関連して、紐結び積構成の下でどのように振る舞うかを分析すること。

提案手法

• コドメイン2の部分多様体に対して、少なくとも一方の因子がファイバー化されているとき、$K \otimes L$ として定義される紐結び積構成を用い、$S^{k+l+1}$ 内の高次元の紐結びを低次元のものから生成する。
• 連続写像 $\alpha_V: V \times V_+ \to \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\}$, $ (a,b) \mapsto a-b $ から導かれる $S$-写像とSeifert-Farberホモトピー対を用い、次元を跨ぐSeifert超曲面を関連付ける。
• 写像 $\gamma^2(\alpha_V)$ を用いたススペンション構成により、$2m$-紐結びから $2m+4$-紐結びへと写像を上昇させ、ホモトピー型とリンク構造を保存する。
• Seifert-Farber対に対する $R$-同値関係を用いて、特にHopfリンクに関連する紐結び積の比較と分類を行う。
• 文献[15, Lemma 6.1 および Proposition 6.2] の結果を応用し、Seifert行列と超曲面を次元を跨いで関連づけ、積演算がリンク対を保存することを示す。
• $(2k+1,2k+1)$-パス移動が $(4k+1)$-紐結び $K \otimes^k \text{Hopf}$ に1回適用されるとき、これは元の1-紐結び $K$ におけるパス移動に対応し、同様に $2$-紐結びにおける $(2k+1,2k+2)$-パス移動についても同様の対応が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $m \geq 4$ のとき、写像 $K \mapsto K \otimes \text{Hopf}$ は、単純な球面的 $2m$-紐結びの集合と $2m+4$-紐結びの集合との間で全単射を誘導するか？
• RQ2 1-紐結び $K$ における単一のパス移動は、次元 $4k+1$ の高次元紐結び $K \otimes^k \text{Hopf}$ に上昇して、対応するパス移動を誘導するか？
• RQ3 2つのトーラスリンクがパス同値であるならば、$2k$ 個の $2$ を含む $\Sigma(a,b,2,\dots,2)$ と $\Sigma(a',b',2,\dots,2)$ の関連するBrieskorn多様体は、抽象的多様体として微分同相型であるか？
• RQ4 $S^4$ 内の2-紐結び $K$ におけるリボン移動は、$S^{4k+4}$ 内の $(4k+2)$-紐結び $K \otimes^k \text{Hopf}$ において、対応する $(2k+1,2k+2)$-パス移動を誘導するか？
• RQ5 $K \otimes \text{Hopf}$ のSeifert-Farberホモトピー対は、$\gamma^2(\alpha_V)$ を通じて、$K$ の対のススペンションによって誘導されるか？

主な発見

• 整数 $m \geq 4$ に対して、写像 $j: \mathcal{S}_{2m} \to \mathcal{S}_{2m+4}$ を $j(K) = K \otimes \text{Hopf}$ で定義すると、これは全単射であり、次元 $2m$ と $2m+4$ の紐結び型の間で安定な対応関係を確立する。
• $(2k+1,2k+1)$-パス移動が $(4k+1)$-紐結び $K \otimes^k \text{Hopf}$ に1回適用されるとき、これは正確に元の1-紐結び $K$ におけるパス移動に対応し、積構成が局所的移動と可換であることを示している。
• $(a,b)$-トーラスリンクがパス移動同値であるならば、$2k$ 個の $2$ を含むBrieskorn多様体 $\Sigma(a,b,2,\dots,2)$ と $\Sigma(a',b',2,\dots,2)$ は、抽象的多様体として微分同相型である。
• $S^4$ 内の2-紐結び $K$ におけるリボン移動は、$S^{4k+4}$ 内の $(4k+2)$-紐結び $K \otimes^k \text{Hopf}$ において、単一の $(2k+1,2k+2)$-パス移動を誘導する。これは、局所的移動の整合性が高次元の紐結びへと拡張されることを示している。
• $(K \otimes \text{Hopf})$ のSeifert-Farberホモトピー対は、$\theta(\gamma^2(\alpha_V))$ から構成される $S$-写像として実現され、これはススペンションされたSeifert超曲面によって誘導される対と $R$-同値である。
• 構成 $K \mapsto K \otimes \text{Hopf}$ はSeifertリンク対を保存し、Seifert超曲面のススペンションと整合する。これは、積紐結びの超曲面に関してホモトピー同値 $\Sigma^2 V^{2m+1} \simeq W^{2m+5}$ が成り立つことによって示されている。