[論文レビュー] Local null-controllability of the 2-D Vlasov-Navier-Stokes system

Iván Moyano|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元Vlasov-Navier-Stokes系の局所的ゼロ制御可能性を確立している。これは、粒子分布関数および流体速度が、トーラスの部分集合 ω に局在する内部制御を用いて、任意の初期状態からゼロに駆り込めることを示している。証明は帰還法とLeray-Schauderの不動点定理に依拠しており、ω がストリップ仮定を満たす幾何的条件が必要である。

ABSTRACT

We prove a null controllability result for the Vlasov-Navier-Stokes system, which describes the interaction of a large cloud of particles immersed in a fluid. We show that one can modify both the distribution of particles and the velocity field of the fluid from any initial state to the zero steady state, by means of an internal control. Indeed, we can modify the non-linear dynamics of the system in order to absorb the particles and let the fluid at rest. The proof is achieved thanks to the return method and a Leray-Schauder fixed-point argument.

研究の動機と目的

• 粒子分布関数および流体速度をゼロに駆り込む2次元Vlasov-Navier-Stokes系のゼロ制御可能性を確立すること。
• 非線形相互作用および非局所的結合を有する結合されたキネティクス-流体系を制御する課題に取り組むこと。
• 粒子動力学に局在する源項を介して作用する制御機構を導入することで、キネティクス-流体モデルへの制御可能性結果を拡張すること。
• 非線形的かつ非局所的結合があるにもかかわらず、制御が有限時間内にゼロ定常状態に到達させられることを証明すること。
• 帰還法と不動点技法を用いた、複雑なキネティクス-流体系を制御する構成的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 制御系が時間間隔後に平衡状態に戻るような基準軌道を構築するために帰還法を用いる。
• 解の存在を保証するため、Leray-Schauderの不動点定理を用いて制御関数 G が存在することを証明する。
• 粒子が流体に与えるフィードバック効果をモデル化するために、抵抗力項を含む修正されたナビエ-ストークス方程式系を構築する。
• 制御効果の伝播に必要な幾何的条件を満たすために、制御領域 ω に対してストリップ仮定を課す。
• 摂動に対する解の進化をバインドするため、Vlasov-Navier-Stokes系の安定性推定を確立する。
• 正則性と適切な定義を保証するため、Sobolev空間およびLebesgue空間における強解理論と関数解析に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Vlasov-Navier-Stokes系は、任意の初期データに対して内部制御を用いてゼロ定常状態に駆り込めるか？
• RQ2 2次元設定において、ゼロ制御可能性を達成するために制御領域 ω に必要な幾何的条件は何か？
• RQ3 非線形的キネティクス-流体系に非局所的結合がある場合、帰還法はどのように適合可能か？
• RQ4 粒子分布関数および流体速度場を同時にゼロに制御することは可能か？
• RQ5 解の存在と一意性を保証するための関数的枠組みおよび正則性仮定は何か？

主な発見

• 初期データが指定された関数空間に属する限り、制御領域 ω がストリップ仮定を満たしていれば、任意の初期状態に対して有限時間 T 内で局所的ゼロ制御可能性が成立する。
• 解 (f,u) が f(T,·,·) = 0 および u(T,·) = 0 を満たすような制御関数 G ∈ C⁰([0,T] × T² × R²) が存在する。
• Leray-Schauderの定理を用いて構築された作用素の不動点が存在することを証明し、制御問題の解の存在を保証する。
• Vlasov-Navier-Stokes系の安定性推定が導出され、初期データや外力の小さな摂動が解に制御可能な変化をもたらすことが示された。
• 帰還法が非線形的かつ非局所的キネティクス-流体系に成功裏に適用され、従来の流体モデルを超えた適用範囲が拡張された。
• 同一条件下で解の一意性が証明され、制御が一意的かつ安定であることが確認された。