[論文レビュー] Local P-shtukas and their relation to global G-shtukas

Esmail M. Arasteh Rad, Urs Hartl|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、関数体におけるシャイマーサ変種の類似物たるグローバルG-シュトゥーカと、追加構造を備えたp-可除群の一般化たるローカルP-シュトゥーカの間の基礎的関係を確立する。Serre–Tate型の定理を証明し、グローバルG-シュトゥーカの変形とそれに対応するローカルP-シュトゥーカの変形の同値性を示し、有界なローカルP-シュトゥーカに対してRapoport–Zink空間を、局所的に形式的有限型である形式的スキームとして構成する。これにより、以降の研究でグローバルG-シュトゥーカのモジュライスタックのユニフォルミゼーションが可能になる。

ABSTRACT

This is the first in a sequence of two articles investigating moduli stacks of global G-shtukas, which are function field analogs for Shimura varieties. Here G is a flat affine group scheme of finite type over a smooth projective curve, and global G-shtukas are generalizations of Drinfeld shtukas and analogs of abelian varieties with additional structure. Our moduli stacks generalize various moduli spaces used by different authors to prove instances of the Langlands program over function fields. In the present article we explain the relation between global G-shtukas and local P-shtukas, which are the function field analogs of p-divisible groups with additional structure. We prove the analog of a theorem of Serre and Tate stating the equivalence between the deformations of a global G-shtuka and its associated local P-shtukas. We also investigate local P-shtukas alone and explain their relation with Galois representations through their Tate modules. And if P is a smooth affine group scheme with connected reductive generic fiber we prove the existence of Rapoport--Zink spaces for bounded local P-shtukas as formal schemes locally formally of finite type. In the sequel to this article we use these Rapoport--Zink spaces to uniformize the moduli stacks of global G-shtukas.

研究の動機と目的

• p-可除群がp進ホッジ理論において果たす役割を一般化し、グローバルG-シュトゥーカとローカルPνi-シュトゥーカの間の明確な対応関係を確立すること。
• グローバルG-シュトゥーカの無限小変形とそれに対応するローカルP-シュトゥーカの変形との関係を示す関数体版のSerre–Tate定理を、関数体の文脈に拡張すること。
• 有界なローカルP-シュトゥーカに対して、局所的に形式的有限型である形式的スキームとしてRapoport–Zink空間を構成することにより、古典的なp進ユニフォルミゼーションを拡張すること。
• ローカルP-シュトゥーカ変形空間を用いたグローバルG-シュトゥーカモジュライスタックのユニフォルミゼーションの枠組みを提供すること。これは関数体上のラングランズ対応を実現するための重要なステップである。

提案手法

• Drinfeldのシュトゥーカを一般化し、L+Pν- torsor とFrobenius-twisted同型写像 ˆτ: ˆσ∗L → L を含む、ローカルP-シュトゥーカを (L+, ˆτ) の形の組として導入する。
• NilpAν 上のスキーム上のグローバルG-シュトゥーカに対して、特徴的位相νi におけるローカルPνi-シュトゥーカのn重対応を定義するグローバル–ローカル関手を構築する。
• 形式的完成化上でのグローバル–ローカル対応を構成するために、一般化されたBeauville–Laszloの貼り合わせ補題を適用する。
• 有界でないRapoport–Zink関手がSpf k[[ζ]] 上のind-スキームによって代表可能であることを証明し、ホッジ多角形の制御により有界性条件を確立する。
• ˆτ による ˆσ∗L+ と L+ の相対的位置に関する公理的境界を用いて、有界なローカルP-シュトゥーカを定義する。
• Rapoport–ZinkとHartlの手法にインspiredした技術を用いて、有界なRapoport–Zink関手がSpf k[[ζ]] 上の局所的に形式的有限型である形式的スキームによって代表可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルG-シュトゥーカは、特徴的位相におけるそれに対応するローカルP-シュトゥーカとどのように関係しているか？
• RQ2 グローバルG-シュトゥーカの変形理論とそれに対応するローカルP-シュトゥーカの変形理論の間には、Serre–Tate型の同値性が存在するか？
• RQ3 有界なローカルP-シュトゥーカに対して、局所的に形式的有限型である形式的スキームとしてRapoport–Zink空間を構成できるか？
• RQ4 Tateモジュールは、ローカルP-シュトゥーカとガロア表現をどのように結びつけるか？
• RQ5 ローカルP-シュトゥーカ変形空間を用いて、グローバルG-シュトゥーカのモジュライスタックをどのようにユニフォルミゼーションできるか？

主な発見

• グローバルG-シュトゥーカとそれに対応するn重対のローカルPνi-シュトゥーカの変形関手は同値であり、古典的なSerre–Tate定理を関数体の文脈に一般化する。
• 有界でないRapoport–Zink関手はind-スキームによって代表可能であり、特にL+Pν- torsor が自明なとき、FℓPν b×Fν Spf Fν[[ζ]] に同型である。
• 滑らかなPν で一般ファイバーが連結再帰的代数群であるとき、有界なRapoport–Zink関手はSpf k[[ζ]] 上の局所的に形式的有限型である形式的スキームによって代表可能である。これは定理4.18で証明されている。
• 有界なローカルP-シュトゥーカのRapoport–Zink空間の構成は、以降の研究でグローバルG-シュトゥーカモジュライスタックのユニフォルミゼーションに重要な技術的ツールを提供する。
• ローカルP-シュトゥーカのTateモジュールはガロア表現を導き、ローカルP-シュトゥーカの幾何学とラングランズ計画との間の接続を確立する。
• これらの結果は、関数体上のラングランズ対応をグローバルG-シュトゥーカモジュライスタックのコホーモロジーを用いて実現するための基盤を築く。