[論文レビュー] Local points on P-adically uniformized Shimura varieties

Bruce W. Jordan, Ron Livné+1 more|ArXiv.org|Apr 26, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-進均質化と類体論を用いて、特定の $p$-進均質化された志村多様体がどの局所体上で有理点を持つかを決定する。特定の志村曲線に対して、ジャコビアンが[PS]の意味で偶数であることを証明し、数体上の不足素数とヒルベルト記号の分析を通じて、重要な算術的性質を確立する。

ABSTRACT

Using the p-adic uniformization of Shimura varieties we determine, for some of them, over which local fields they have rational points. Using this we show in some new curve cases that the jacobians are even in the sense of Poonen and Stoll.

研究の動機と目的

• 特定の $p$-進均質化された志村多様体がどの局所体上で有理点を持つかを決定すること。
• 志村曲線が良い還元をもつ場合に限らない、特に悪い還元の場合への局所点理論の拡張。
• 志村曲線のジャコビアンの算術的性質を調査し、特に[PS]の意味でそれが偶数であるかどうかを検討すること。
• $p$-進均質化、類体論、志村多様体上の有理点の存在との間の相互作用を分析すること。
• ヒルベルト記号と局所類体論を用いて、不足素数（無限大および有限）の数が偶数である条件を確立すること。

提案手法

• ドリンフェルトの理論およびチェレルニクとラポポート＝ジンクスの結果を用いて、志村多様体の $p$-進均質化を用いる。
• $p$-進均質化の理論を適用し、局所体上の有理点の存在を、特定の四元数代数の可解性に還元する。
• 類体論とヒルベルト記号 $(-1, -\theta)_{v}$ を用いて、$F$ の各点における四元数代数の分裂性を分析する。
• 群 $W \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$ が曲線 $X$ に作用することを分析する。ここで $r$ は四元数代数の判別式に含まれる有限素数の個数である。
• リーマン＝ハーウィッツの公式を用いて、$X$ の genus と商 $X/W$ の genus の関係を、$W$ の固定点に依存する補正項を含めて関係づける。
• genus 理論とヒルベルト記号の積公式を用いて、特に残差標数 2 の点および無限大点において、不足素数の数が偶数である条件を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの局所体上で $p$-進均質化された志村多様体が有理点を持つのか。
• RQ2 志村曲線の不足無限素数および有限素数の数が偶数である条件は何か。
• RQ3 志村曲線のジャコビアンが[PS]の意味で偶数であるのはいつか。
• RQ4 $F$ の点における四元数代数 $B(-1, -\theta)$ の分裂性は、不足素数の偶奇性とどのように関係するか。
• RQ5 ヒルベルト記号 $(-1, -\theta)_v$ は、局所点の存在およびジャコビアンの偶奇性を決定するために果たす役割は何か。

主な発見

• 志村多様体 $X$ の無限大不足素数の数が偶数であるための必要十分条件は、$(-1, -\theta)_{F_{\frak{P}}}=1$ であり、ここで $\theta$ は素イデアル $\frak{P}^{k_+}$ の全正生成元である。
• 有限関連不足素数の数が偶数であるための必要十分条件は、すべての残差標数 2 の点 $\frak{Q}$ に対して $(-1, -\theta)_{F_{\frak{Q}}}=1$ が成り立つことである。
• $m \equiv 5 \pmod{8}$ のとき、関連不足素数の数は偶数であり、これはジャコビアンが偶数であることを示唆する。
• $m \equiv 1 \pmod{8}$ かつ $p$ が $F$ で非分岐な有理素数で $p \equiv 1 \pmod{4}$ であるとき、関連不足素数の数は奇数である。
• 四元数代数の判別式にちょうど一つの有限素数（すなわち $r=1$）があるとき、曲線 $X$ の genus が奇数であるための必要十分条件は、不足素数の数が奇数であることであり、不足素数の数が偶数であればジャコビアンは偶数である。
• 定理は、$r \geq 3$ のとき、$g(X)$ が奇数であることを結論づけ、したがって $\operatorname{Jac}(X)$ は偶数である。$r=1$ のとき、2 上および無限大点におけるヒルベルト記号の明示的分析により、ジャコビアンの偶奇性が確立される。