[論文レビュー] Local Points on Quadratic Twists of X_0(N)

Ekin Özman|ArXiv.org|Nov 24, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、モジュラー曲線 $X_0(N)$ の二次-twist $X^d(N)$ に対して、$\mathbb{Q}_p$-有理点が存在するための必要十分条件を提示し、エレンバーグが提起した『至る所で局所的有理点が存在するか』という問題を解決する。奇素数 $p$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ と $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$ において同時に分岐しない場合、局所的有理点が存在するのは、$N$ と $d$ に対して特定の合同条件および分解条件を満たすときであり、一部の曲線は至る所で局所的有理点を持つが全球的有理点を持たないことが示され、そのハッセの原理の破綻はブラウアー＝マインン障害によって説明可能である。

ABSTRACT

Let X^d(N) be the quadratic twist of the modular curve X_0(N) through the Atkin-Lehner involution w_N and a quadratic extension Q(\sqrt{d})/Q. The points of X^d(N)(Q) are precisely the Q(\sqrt{d})-rational points of X_0(N) that are fixed by σcomposition w_N, where σis the generator of Gal(Q(\sqrt{d})/Q).Ellenberg asked the following question: For which d and N does X^d(N) have rational points over every completion of Q? Given (N,d,p) we give necessary and sufficient conditions for the existence of a Q_p-rational point on X^d(N), whenever p is not simultaneously ramified in Q(\sqrt{d}) and Q(\sqrt{-N}), answering Ellenberg's question for all odd primes p when (N,d)=1. The main theorem yields a population of curves which have local points everywhere but no points over Q; in several cases we show that this obstruction to the Hasse Principle is explained by the Brauer-Manin obstruction.

研究の動機と目的

• エレンバーグが提起した、二次-twist $X^d(N)$ が $\mathbb{Q}$ のすべての完備化上で有理点を持つ条件を特定すること。
• すべての素数 $p$ に対して $\mathbb{Q}_p$-有理点が存在する条件を、$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ と $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$ において同時に分岐する素数が存在しないという条件下で特徴づけること。
• 至る所で局所的有理点を持つが全球的有理点を持たない曲線を同定し、そのハッセの原理の破綻がブラウアー＝マインン障害によって説明可能かどうかを特定すること。
• 特に $\mathbb{Q}$-曲線およびモジュラー曲線の文脈において、$X_0(N)$ の-twist に関する既存の局所的有理点の結果を拡張・統合すること。

提案手法

• アトキン＝レナーオペレーターおよびエタール降下の理論を用いて、$\mathbb{Q}$ 上での $X_0(N)$ の二次-twist $X^d(N)$ を定義する。
• $X^d(N)$ 上の $\mathbb{Q}$-有理点を、$\sigma \circ w_N$ によって固定される $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$-有理点として特徴づける。ここで $\sigma$ は $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q})$ を生成する。
• $p$ が $N$ を割り、かつ $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ で非分岐である場合、ヘンゼルの補題を用いて $\mathbb{Q}_p$-点を分析する。
• $p$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ で分岐し、$p \nmid N$ である場合、複素乗法（CM）楕円曲線の理論を用いて $\mathbb{Q}_p$-点を構成する。
• シャラシュキンの手法と Magma での計算を用いて、ジャコビアンのモーデル＝ヴェイユ群を分析し、特定の状況で有理点が存在しないことを除外する。
• $L$-関数の関数方程式に関するワイエルの公式を適用し、特定のジャコビアンが単純であり、ランク 0 の非自明な商を持たないことを示し、マズール流の手法が使えないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 $d$ および正方形自由な $N$ に対して、すべての素数 $p$ に対して $X^d(N)$ が $\mathbb{Q}_p$-有理点を持つのはどのような場合か？
• RQ2 $X^d(N)$ が至る所で局所的有理点を持つが $\mathbb{Q}$ 上に全球的有理点を持たないのは、$d$ と $N$ に対してどのような条件下か？
• RQ3 このような曲線におけるハッセの原理の破綻は、ブラウアー＝マインン障害によって説明可能か？
• RQ4 $p$ の $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ および $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$ における分岐性は、局所的有理点の存在にどのように影響するか？
• RQ5 ジャコビアンのモーデル＝ヴェイユ群の構造は何か？ そして、有理点の存在にどのように影響するか？

主な発見

• 奇素数 $p$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ で非分岐であり、$N$ を割るとき、$X^d(N)$ が $\mathbb{Q}_p$-点を持つのは、$N = p \prod q_i$ で $p \equiv 3 \pmod{4}$ かつすべての $q_i \equiv 1 \pmod{4}$ のとき、または $N = 2p \prod q_i$ で同様の合同条件を満たすときである。
• $2$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ で非分岐であり、$N$ を割るとき、$\mathbb{Q}_2$-点が存在するのは、$N = 2 \prod q_i$ ですべての $q_i \equiv 1 \pmod{4}$ のときである。
• 奇素数 $p$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ で分岐し、$N$ を割らないとき、$\mathbb{Q}_p$-点が存在するのは、$p$ が命題 5.5 で定義された特定の有限集合 $S$ に属するときである。
• $X^{17}(23)$ は至る所で局所的有理点を持つが $\mathbb{Q}$-有理点は持たず、このハッセの原理の破綻はブラウアー＝マインン障害によって説明可能である。
• $d \in \{-223, -211, -59, 101, 173\}$ のとき、$X^d(23)$ のジャコビアンは自明な torsion を持ち、ランクが 0 であるため、$X^d(23)(\mathbb{Q}) = \emptyset$ である。
• $X^{17}(23)$ のジャコビアンは単純であり、ランクが 2 であり、$q$-展開係数が $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ に属し、関連する新形式は自己共役であるため、非自明な同種因子は存在しないことが確認された。